三角恆等變形

數學的一類公式，用於三角函式等價代換，可以化簡式子，方便運算。基本可以從三角函式圖像中推出誘導公式，也能從誘導公式中延展出其他的公式，其中包括倍角公式，和差化積，萬能公式等。

基本介紹

• 中文名：三角恆等變換
• 外文名：Angle transformation formulae
• 學科：數學
• 用途：三角函式等價代換
• 方法：圖像中推理出誘導公式

基礎三角恆等式

sin²α+cos²α=1

1+tan²α=sec²α

1+cot²α=csc²α

sinα/cosα=tanα

secα/cscα=tanα

cosα/sinα=cotα

兩角和與差

倍角公式

二倍角

sin2α = 2cosαsinα

= sin²(α+π/4)-cos²(α+π/4)

= 2sin²(a+π/4)-1

= 1-2cos²(α+π/4)

cos2α = cos²α-sin²α

= 1-2sin²α

= 2cos²α-1

= 2sin(α+π/4)·cos(α+π/4)

tan2α = 2tanα/[1-(tanα)²]

三倍角

sin3α = 3sinα-4sin³α

cos3α = 4cos³α-3cosα

tan3α = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α)

sin3α = 4sinα·sin(π/3-α)·sin(π/3+α)

cos3α = 4cosα·cos(π/3-α)·cos(π/3+α)

tan3α = tanα·tan(π/3-α)·tan(π/3+α)

n倍角

根據棣莫弗定理的乘方形式(cos θ+i·sin θ)ⁿ=cos nθ+i·sin nθ （註：sin θ前的 i 是虛數單位，即-1開方）

將左邊用二項式定理展開分別整理實部和虛部可以得到下面兩組公式

sin(nα) = ncos^(n-1)α·sinα - C(n,3)cos^(n-3)α·sin³α + C(n,5)cos^(n-5)α·sin⁵α-…

cos(nα) = cosⁿα - C(n,2)cos^(n-2)α·sin²α + C(n,4)cos^(n-4)α·sin⁴α

輔助角

Asinα+Bcosα = √(A²+B²)sin[α+arctan(B/A)]

Asinα+Bcosα = √(A²+B²)cos[α-arctan(A/B)]

半角公式

sin(α/2) = ±√[(1-cosα)/2]

cos(α/2) = ±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2) = ±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα

cot(α/2) = ±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)=cscα+cotα

sec(α/2) = ±√[(2secα/(secα+1)]

csc(α/2) = ±√[(2secα/(secα-1)]

誘導公式

kπ+a

sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（kπ+α）=tanα

cot（kπ+α）=cotα

sec（2kπ+α）=secα

csc（2kπ+α）=cscα

sin（π+α）=－sinα

cos（π+α）=－cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

sec(π+α)=-secα

csc(π+α)=-cscα

-a

sin（－α）=－sinα

cos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα

sec(-α)=secα

csc(-α)=-cscα

π-a

sin（π－α）=sinα

cos（π－α）=－cosα

tan（π－α）=－tanα

cot（π－α）=－cotα

sec(π-α)=-secα

csc(π-α)=cscα

π/2±a

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=－sinα

tan（π/2+α）=－cotα

cot（π/2+α）=－tanα

sec(π/2+α)=-cscα

csc(π/2+α)=secα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα

sec(π/2-α)=cscα

csc(π/2-α)=secα

3π/2±a

sin（3π/2+α）=－cosα

cos（3π/2+α）=sinα

tan（3π/2+α）=－cotα

cot（3π/2+α）=－tanα

sec(3π/2+α)=cscα

csc(3π/2+α)=-secα

sin（3π/2－α）=－cosα

cos（3π/2－α）=－sinα

tan（3π/2－α）=cotα

cot（3π/2－α）=tanα

sec(3π/2-α)=-cscα

csc(3π/2-α)=-secα

恆等變形

tan(a+π/4）=(tan a+1）/（1-tan a)

tan(a-π/4）=(tan a-1）/（1+tan a)

asinx+bcosx=[√（a²+b²）]{[a/√（a²+b²）]sinx+[b/√（a²+b²）]cosx}=[√（a²+b²）]sin(x+y)【輔助角公式，其中tan y=b/a，或者說siny=b/[√（a²+b²）],cosy=a/[√（a²+b²）]】

萬能代換

半角的正弦、餘弦和正切公式（降冪擴角公式）

積化和差

sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]

cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]

cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]

sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（註：留意最前面是負號）

和差化積

內角公式

設A，B，C是三角形的三個內角

sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）

cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）

tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1

sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

降冪公式

證明方法

首先，在三角形ABC中，角A,B,C所對邊分別為a,b,c若A,B均為銳角，則在三角形ABC中，過C作AB邊垂線交AB於D 由CD=asinB=bsinA（做另兩邊的垂線，同理）可證明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC於是有：AD+BD=c AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均為銳角的情況下，可證明正弦和的公式。利用正弦和餘弦的定義及周期性，可證明該公式對任意角成立。於是有 cos(A+B)=sin（90-A-B)=sin（90-A)cos(-B)+cos（90-A)sin（-B）=cosAcosB-sinAsinB

由此求得以上全部公式