誘導公式

誘導公式

誘導公式是指三角函式中,利用周期性將角度比較大的三角函式,轉換為角度比較小的三角函式的公式。 誘導公式有六組,共54個。

基本介紹

  • 中文名:誘導公式
  • 外文名:induction formula
  • 套用學科:高等數學
  • 適用領域範圍:三角函式
  • 適用領域範圍:數學,物理,工程
定義,公式一,公式二,公式三,公式四,公式五,公式六,記憶,規律,口訣,

定義

常用的誘導公式有以下六組:

公式一

終邊相同的角的同一三角函式的值相等。
設α為任意銳角,弧度制下的角的表示:
角度制下的角的表示:
sin (α+k·360°)=sinα(k∈Z).
cos(α+k·360°)=cosα(k∈Z).
tan (α+k·360°)=tanα(k∈Z).
cot(α+k·360°)=cotα (k∈Z).
sec(α+k·360°)=secα (k∈Z).
csc(α+k·360°)=cscα (k∈Z).

公式二

π+α的三角函式值與α的三角函式值之間的關係。
設α為任意角,弧度制下的角的表示:
sin(π+α)=-sinα.
cos(π+α)=-cosα.
tan(π+α)=tanα.
cot(π+α)=cotα.
sec(π+α)=-secα.
csc(π+α)=-cscα.
角度制下的角的表示:
sin(180°+α)=-sinα.
cos(180°+α)=-cosα.
tan(180°+α)=tanα.
cot(180°+α)=cotα.
sec(180°+α)=-secα.
csc(180°+α)=-cscα.

公式三

任意角α與 -α的三角函式值之間的關係:
sin(-α)=-sinα.
cos(-α)=cosα.
tan(-α)=-tanα.
cot(-α)=-cotα.
sec(-α)=secα.
csc (-α)=-cscα.

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係:
弧度制下的角的表示:
sin(π-α)=sinα.
cos(π-α)=-cosα.
tan(π-α)=-tanα.
cot(π-α)=-cotα.
sec(π-α)=-secα.
csc(π-α)=cscα.
角度制下的角的表示:
sin(180°-α)=sinα.
cos(180°-α)=-cosα.
tan(180°-α)=-tanα.
cot(180°-α)=-cotα.
sec(180°-α)=-secα.
csc(180°-α)=cscα.

公式五

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係:
弧度制下的角的表示:
sin(2π-α)=-sinα.
cos(2π-α)=cosα.
tan(2π-α)=-tanα.
cot(2π-α)=-cotα.
sec(2π-α)=secα.
csc(2π-α)=-cscα.
角度制下的角的表示:
sin(360°-α)=-sinα.
cos(360°-α)=cosα.
tan(360°-α)=-tanα.
cot(360°-α)=-cotα.
sec(360°-α)=secα.
csc(360°-α)=-cscα.

公式六

π/2±α 及3π/2±α與α的三角函式值之間的關係:(⒈~⒋)
π/2+α與α的三角函式值之間的關係
弧度制下的角的表示:
sin(π/2+α)=cosα.
cos(π/2+α)=—sinα.
tan(π/2+α)=-cotα.
cot(π/2+α)=-tanα.
sec(π/2+α)=-cscα.
csc(π/2+α)=secα.
角度制下的角的表示:
sin(90°+α)=cosα.
cos(90°+α)=-sinα.
tan(90°+α)=-cotα.
cot(90°+α)=-tanα.
sec(90°+α)=-cscα.
csc(90°+α)=secα.
⒉ π/2-α與α的三角函式值之間的關係
弧度制下的角的表示:
sin(π/2-α)=cosα.
cos(π/2-α)=sinα.
tan(π/2-α)=cotα.
cot(π/2-α)=tanα.
sec(π/2-α)=cscα.
csc(π/2-α)=secα.
角度制下的角的表示:
sin (90°-α)=cosα.
cos (90°-α)=sinα.
tan (90°-α)=cotα.
cot (90°-α)=tanα.
sec (90°-α)=cscα.
csc (90°-α)=secα.
⒊ 3π/2+α與α的三角函式值之間的關係
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2+α)=-cosα.
cos(3π/2+α)=sinα.
tan(3π/2+α)=-cotα.
cot(3π/2+α)=-tanα.
sec(3π/2+α)=cscα.
csc(3π/2+α)=-secα.
角度制下的角的表示:
sin(270°+α)=-cosα.
cos(270°+α)=sinα.
tan(270°+α)=-cotα.
cot(270°+α)=-tanα.
sec(270°+α)=cscα.
csc(270°+α)=-secα.
3π/2-α與α的三角函式值之間的關係
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2-α)=-cosα.
cos(3π/2-α)=-sinα.
tan(3π/2-α)=cotα.
cot(3π/2-α)=tanα.
sec(3π/2-α)=-cscα.
csc(3π/2-α)=-secα.
角度制下的角的表示:
sin(270°-α)=-cosα.
cos(270°-α)=-sinα.
tan(270°-α)=cotα.
cot(270°-α)=tanα.
sec(270°-α)=-cscα.
csc(270°-α)=-secα.

記憶

規律

公式一到公式五函式名未改變, 公式六函式名發生改變。
公式一到公式五可簡記為:函式名不變,符號看象限。即α+k·360°(k∈Z),﹣α,180°±α,360°-α的三角函式值,等於α的同名三角函式值,前面加上一個把α看成銳角原函式值的符號。
上面這些誘導公式可以概括為:對於kπ/2±α(k∈Z)的三角函式值,
三角公式的記憶圖三角公式的記憶圖
①當k是偶數時,得到α的同名函式值,即函式名不改變;
②當k是奇數時,得到α相應的余函式值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。(奇變偶不變)然後在前面加上把α看成銳角時原函式值的符號。(符號看象限)
例如:
sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4為偶數,所以取sinα。
當α是銳角時,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符號為“-”。
所以sin(2π-α)=-sinα

口訣

奇變偶不變,符號看象限
註:奇變偶不變(對k而言,指k取奇數或偶數),符號看象限(看原函式,同時可把α看成是銳角)。
公式右邊的符號為把α視為銳角時,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α所在象限的原三角函式值的符號可記憶:水平誘導名不變;符號看象限。
各種三角函式在四個象限的符號如何判斷,也可以記住口訣“一全正;二正弦(餘割);三兩切;四餘弦(正割)”.
這十二字口訣的意思就是說:
第一象限內任何一個角的三角函式值都是“+”;
第二象限內只有正弦和餘割是“+”,其餘全部是“-”;
第三象限內只有正切和餘切是“+”,其餘函式是“-”;
第四象限內只有正割和餘弦是“+”,其餘全部是“-”。
一全正,二正弦,三雙切,四餘弦

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