Crooks漲落定理

Crooks漲落定理（或稱Crooks方程）是一個統計力學中的關係，講的是在一個非平衡過程中（保持系統體積不變並與熱庫接觸），初態末態自由能之差與在此過程中對系統做功的關係，由化學家Gavin E. Crooks（當時在加州大學）於1998年提出。

基本介紹

• 中文名：Crooks漲落定理
• 外文名：Crooks fluctuation theorem

簡介

Crooks漲落定理（或稱Crooks方程）是一個統計力學中的關係，講的是在一個非平衡過程中（保持系統體積不變並與熱庫接觸），初態末態自由能之差與在此過程中對系統做功的關係，由化學家Gavin E. Crooks（當時在加州大學）於1998年提出。

具體而言，漲落定理講的是，考慮態空間中一條軌跡 ，其時間反演軌跡記為 ，那么，如果這個系統的演化滿足微觀可逆性（microscopic reversibility），則正向軌跡與反演軌跡出現的幾率為：

是熵產生。

考慮非平衡系統中的一個演化過程，以參數 來標記， 和分別對應於初態和末態（分別是兩個由微觀態構成的統計綜），從到的演化過程被稱作“正向”演化，其時間反演路徑被稱作“逆向”演化。Crooks方程討論的是以下幾個物理量之間的關係：

：指的是初態（即）系統處於微觀態A，且通過“正向”演化在末態（）到達微觀態B的聯合幾率

：指的是系統在末態（）處於微觀態B，且通過“逆向”演化在初態（）到達微觀態A的聯合幾率，，這裡是Boltzmann常數，T是熱庫的溫度。

，指的是在正向演化過程中(從A到B)對系統做的功

，指的是微觀態A和B的Helmholtz自由能之差。

這樣Crooks漲落定理就寫為：

在上面的方程中，表示在正向演化中的耗散功。若演化過程無窮緩慢，則正反向的幾率與相等，這也就回歸到平衡熱力學的變換，這時，而耗散功為零。

在時間反演變換下，我們總有，於是我們可以把所有能給出相同大小的功的路徑加和在一起，上面的關係就可以寫為做功大小的幾率分布：

注意到逆向演化的過程中的做功帶著一個負號。於是正向和反向做功的分布函式會在處相交，這種現象已經在用光鑷摺疊RNA的實驗中得到驗證。Crooks漲落關係還可以推導出Jarzynski恆等式。

統計力學

統計力學（Statistical mechanics）是一個以玻爾茲曼等人提出以最大熵度理論為基礎，藉由配分函式將有大量組成成分（通常為分子）系統中微觀物理狀態（例如：動能、勢能）與巨觀物理量統計規律 （例如：壓力、體積、溫度、熱力學函式、狀態方程等）連結起來的科學。如氣體分子系統中的壓力、體積、溫度。伊辛模型中磁性物質系統的總磁矩、相變溫度、和相變指數。

通常可分為平衡態統計力學，與非平衡態統計力學。其中以平衡態統計力學的成果較為完整，而非平衡態統計力學至今也在發展中。統計物理其中有許多理論影響著其他的學門，如資訊理論中的信息熵。化學中的化學反應、耗散結構。和發展中的經濟物理學這些學門當中都可看出統計力學研究線性與非線性等複雜系統中的成果。

熱庫

在熱力學里，熱庫被視為是一固定溫度的熱來源。熱庫的溫度不會因為熱量增加或被抽離而有任何改變。