AKS素數測試

AKS素數測試（又被稱為 Agrawal–Kayal–Saxena素數測試 和 Cyclotomic AKS test）是一個決定型素數測試算法 ，由三個來自印度坎普爾理工學院的計算機科學家，Manindra Agrawal、Neeraj Kayal和Nitin Saxena，在2002年8月6日發表於一篇題為素數屬於P的論文。作者們因此獲得了許多獎項，包含了2006年的哥德爾獎和2006年的Fulkerson Prize。這個算法可以在多項式時間之內，決定一個給定整數是素數或者合數。

基本介紹

• 中文名：AKS素數測試
• 外文名：Cyclotomic AKS test
• 提出時間：2002年8月6日
• 性質：決定型素數測試算法
• 作用：決定一個給定整數是素數或者合數
• 學科：計算機

重要性

AKS最關鍵的重要性在於它是第一個被發表的一般的、多項式的、確定性的和無仰賴的素數判定算法。先前的算法至多達到了其中三點，但從未達到全部四個。

• AKS算法可以被用於檢測任何一般的給定數字是否為素數。很多已知的高速判定算法只適用於滿足特定條件的素數。例如，盧卡斯-萊默檢驗法僅對梅森素數適用，而Pépin測試僅對費馬數適用。
• 算法的最長運行時間可以被表為一個目標數字長度的多項式。ECPP和APR能夠判斷一個給定數字是否為素數，但無法對所有輸入給出多項式時間範圍。
• 算法可以確定性地判斷一個給定數字是否為素數。隨機測試算法，例如米勒-拉賓檢驗和Baillie–PSW，可以在多項式時間內對給定數字進行校驗，但只能給出機率性的結果。
• AKS算法並未“仰賴”任何未證明猜想。一個反例是確定性米勒檢驗：該算法可以在多項式時間內對所有輸入給出確定性結果，但其正確性卻基於尚未被證明的廣義黎曼猜想。

概念

AKS 素數測試主要是基於以下定理：整數n(≥ 2)是素數，若且唯若

這個同餘多項式對所有與n互素的整數a均成立。 這個定理是費馬小定理的一般化，並且可以簡單的使用二項式定理跟二項式係數的這個特徵:

，對任何 0<k<n ，若且唯若n是素數

來證明出此定理。

雖然說關係式 (1) 基本上構成了整個素數測試，但是驗證花費的時間卻是指數時間。因此，為了減少計算複雜度, AKS改為使用以下的同餘多項式：

這個多項式與存在多項式f與g，令:

意義是等同的。

這個同餘式可以在多項式時間之內檢查完畢。這裡我們要注意所有的素數必定滿足此條件式 (令g=0 則 (3) 等於 (1)，因此符合n必定是素數)。 然而，有一些合數也會滿足這個條件式。有關AKS正確性的證明包含了推導出存在一個夠小的r以及一個夠小的整數集合A，令如果此同餘式對所有A裡面的整數都滿足，則n必定為素數。

歷史以及運算時間

在上文引用的論文的第一版本中，作者們證明了算法的漸近時間為。換言之，算法使用少於n的二進制數字長度的十二次方。但是，論文證明的時間上界卻過於寬鬆；事實上，一個被普遍相信的關於索菲熱爾曼素數分布的假設如果為真，則會立即將最壞情況減至。

在這一發現後的幾個月中，新的變體陸續出現（Lenstra 2002, Pomerance 2002, Berrizbeitia 2003, Cheng 2003, Bernstein 2003a/b, Lenstra和Pomerance 2003）並依次提高了算法的速度（以改進幅度為序）。由於這些變體的出現，Crandall和Papadopoulos在其科學論文“AKS-類素數測試的實現”（2003年三月發表）中將其稱為算法的“AKS-類”。

出於對這些變體和其他回復的回應，論文“素數屬於P”稍後被進行了更新，新版本包括了一個AKS算法的正規公式化表述和其正確性證明。（這一版本在數學年刊上發表。）雖然基本思想沒有變化，r卻被採用了新方法進行選擇，而正確性證明也變得更加緊緻有序。與舊證明依賴於許多不同的方法不同，新版本幾乎只依賴於有限域上的分圓多項式的特徵。新版本同時也最佳化了時間複雜度的邊界到。通過篩法獲得的其他結果可以將其進一步簡化到。

在2005年，Carl Pomerance和H. W. Lenstra, Jr.展示了一個AKS的變體，可以在O(log(n))次操作內完成測試（n是被測試數）。對於原算法的O(log(n))邊界而言，這是一個顯著的改進。

算法

整個算法的操作如下：

輸入：整數n>1；

若存在整數a>0 且b>1 ，令n=a；則輸出合數；

找出最小的r令ord_r(n)>log(n)；

若 對某些a≤r，1<gcd(a,n)<n，輸出合數。(gcd是指最大公約數)。

若n≤r, 輸出素數。

對a=1 到 的所有數，

如果 (X+a)≠X+a(modX− 1,n), 輸出合數。

輸出素數。

這裡的ord_r(n)是nmodr的階。 另外，這裡的log代表以二為底的對數，則是r的歐拉函式。

下面說明若n是個素數，那么算法總是會返回素數：由於n是素數，步驟1和3永遠不會返回合數。步驟5也不會返回合數，因為(2)對所有素數n為真。因此，算法一定會在步驟4或6返回素數。

對應地，如果n是合數，那么算法一定返回合數：如果算法返回素數，那么則一定是從步驟4或6返回。對於前者，因為n≤r，n必然有因子a≤r符合1 < gcd(a,n) <n，因此會返回合數。剩餘的可能性就是步驟6，在文章中，這種情況被證明不會發生，因為在步驟5中檢驗的多個等式可以確保輸出一定是合數。