基本介紹
發展簡史,驗證推導,定理意義,套用,Python程式碼,
發展簡史
1736年，歐拉出版了一本名為“一些與素數有關的定理的證明”(拉丁文：Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio)”的論文中第一次提出證明，但從萊布尼茨未發表的手稿中發現他在1683年以前已經得到幾乎是相同的證明。
有些學家獨立製作相關的假說（有時也被錯誤地稱為中國的假說），當成立時，p是素數。這是費馬小定理的一個特殊情況。然而，這一假說的前設是錯的：例如，341 ，而341= 11×31是一個偽素數。所有的偽素數都是此假說的反例。
如上所述，中國猜測僅有一半是正確的。符合中國猜測但不是素數的數被稱為偽素數。
更極端的反例是卡麥可數： 假設a與561互質，則 a560被561除都餘1。這樣的數被稱為卡麥可數數，561是最小的卡麥可數。Korselt在1899年就給出了卡麥可數的等價定義，但直到1910年才由卡麥可（Robert Daniel Carmichael）發現第一個卡麥可數：561。1994年William Alford、Andrew Granville及Carl Pomerance證明了卡麥可數有無窮多個。
驗證推導
引理1．
若a,b,c為任意3個整數,m為正整數，且(m,c)=1，則當a·c≡b·c(mod m)時，有a≡b(mod m)。
證明：a·c≡b·c(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)·c≡0(mod m)。因為(m,c)=1即m,c互質，c可以約去，a– b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)。
若a,b,c為任意3個整數,m為正整數，且(m,c)=1，則當a·c≡b·c(mod m)時，有a≡b(mod m)。
證明：a·c≡b·c(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)·c≡0(mod m)。因為(m,c)=1即m,c互質，c可以約去，a– b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)。
引理2．
設m是一個整數且m>1，b是一個整數且(m,b)=1。如果a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]是模m的一個完全剩餘系，則b·a[1],b·a[2],b·a[3],b·a[4],…b·a[m]也構成模m的一個完全剩餘系。
證明:若存在2個整數b·a[i]和b·a[j]同餘即b·a[i]≡b·a[j](mod m)..(i>=1 && j>=1)，根據引理1則有a[i]≡a[j](mod m)。根據完全剩餘系的定義可知這是不可能的，因此不存在2個整數b·a[i]和b·a[j]同餘。
設m是一個整數且m>1，b是一個整數且(m,b)=1。如果a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]是模m的一個完全剩餘系，則b·a[1],b·a[2],b·a[3],b·a[4],…b·a[m]也構成模m的一個完全剩餘系。
證明:若存在2個整數b·a[i]和b·a[j]同餘即b·a[i]≡b·a[j](mod m)..(i>=1 && j>=1)，根據引理1則有a[i]≡a[j](mod m)。根據完全剩餘系的定義可知這是不可能的，因此不存在2個整數b·a[i]和b·a[j]同餘。
所以b·a[1],b·a[2],b·a[3],b·a[4],…b·a[m]構成模m的一個完全剩餘系。
構造素數
的完全剩餘系
因為
，由引理2可得
也是p的一個完全剩餘系。由完全剩餘系的性質，
即
這樣就證明了費馬小定理。
定理意義
費馬小定理是初等數論四大定理（威爾遜定理，歐拉定理（數論中的歐拉定理），中國剩餘定理(又稱孫子定理）之一，在初等數論中有著非常廣泛和重要的套用。實際上，它是歐拉定理的一個特殊情況（即
，見於詞條“歐拉函式”）。
套用
計算
除以13的餘數
故餘數為3。
證明對於任意整數a而言，
恆為2730的倍數。13減1為12，12的正因數有1, 2, 3, 4, 6, 12，分別加1，為2, 3, 4, 5, 7, 13，其中2, 3, 5, 7, 13為質數，根據定理，
為2的倍數、為3的倍數、為5的倍數、為7的倍數、為13的倍數，即2*3*5*7*13=2730的倍數。
Python程式碼
>>> n =221
>>>a = 38
>>>pow(a ,n -1,n)
1
"""221 may be a prime number."""
import random
def isprime(n,k=128):
if n<2:
return False
for _ in range(k):
a = random.randrange(1,n)
if pow(a,n-1,n)!=1:
return False
return True
