齊次方程

齊次方程（homogeneous function）是數學的一個方程，是指簡化後的方程中所有非零項的指數相等，也叫所含各項關於未知數的次數。其方程左端是含未知數的項，右端等於零。通常齊次方程是求解問題的過渡形式，化為齊次方程後便於求解。

基本介紹

• 中文名：齊次方程
• 外文名：homogeneous function
• 類型：齊次線性方程，齊次微分方程
• 學科：數學
• 解法：化為可分離變數的微分方程
• 特點：右端等於零

定義

一

1、所含各項關於未知數具有相同次數的方程,例如等。它們的左端,都是未知數的齊次函式或齊次多項式。2、右端為零的方程(組)亦稱為齊次方程(組)，例如線性齊次(代數)方程組、齊次微分方程等。

二

1、線性方程乘積的導數。 或 等等為線性方程當 時稱為齊次方程。

2、如果一個一階微分方程 中的函式 可寫成 的函式，即 ，則這個方程是齊次方程。

釋義

“齊次”從詞面上解釋是“次數相等”的意思。

微分方程中有兩個地方用到“齊次”的叫法：

1、形如 的方程稱為“齊次方程”，這裡是指方程中每一項關於x、y的次數都是相等的，例如 都算是二次項，而 算0次項，方程 中每一項都是0次項，所以是“齊次方程”。

2、形如y''+py'+qy=0的方程稱為“齊次線性方程”，這裡“齊次”是指方程中每一項關於未知函式y及其導數y'，y''，……的次數都是相等的（都是一次），方程中沒有自由項（不包含y及其導數的項），“線性”則表示導數之間是線性運算（簡單地說就是各階導數之間的只能加減），比如方程y''+py'+qy=x就不是“齊次”的,因為方程右邊的項x不含y及y的導數，是關於y,y',y'',……的0次項，因而就要稱為“非齊次線性方程”，方程yy'=1也不是，因為它首先不是線性的。

另外在線性代數里也有“齊次”的叫法，例如 稱為二次齊式，即二次齊次式的意思，因為f中每一項都是關於x、y的二次項。

形式

如果一階微分方程

中的函式 可寫成 的函式，即 ，則稱這方程為齊次方程。例如

是齊次方程，因為其可化為

特點解法

（1）特點：方程中每一項的次方相同，且都可以化為一般形式 。

（2）解法：令 ，即 ，則 ，於是原方程可化為 ，即 ，成為可分離變數的微分方程，求解後再用 代替 即得原方程的通解。

微分方程

形如方程

其中 為常數，且 .當 時，令 ，由

解出h與k，可將原方程化為齊次方程

當 時，即 ,可設 ，代入原方程後可化為可分離變數的微分方程，既有