齊次函式

在數學中，齊次函式是一個有倍數性質的函式：如果變數乘以一個係數，則新函式會是原函式再乘上係數的某次方倍。

基本介紹

• 中文名：齊次函式
• 外文名：homogeneous function
• 表達式：f(nL,nK)=n^λ·f (L,K)
• 套用學科：數學
• 定義：有倍數性質的函式
• 相關定理：歐拉定理

定義描述

把函式的自變數乘以一個因子，如果此時因變數相當於原函式乘以這個因子 的冪，則稱此函式為齊次函式。

定義函式 為 次齊次函式，需滿足關係：

歐拉定理

對於 次齊次函式 ，有齊次函式的歐拉定理：

定理證明：

因為函式為次齊次函式，所以對定義式兩邊求全微分有

這兩個全微分的值必相等，於是

取，得到

證畢。

齊次方程：

如果方程 右端的函式 為它的變數的零次齊次函式，即滿足恆等式

那么稱上述方程為齊次方程。

例子

線性函式是一次齊次函式，因為根據線性的定義，對於所有的和，都有：

多線性函式是n次齊次函式，因為根據多線性的定義，對於所有的和都有：

從上一個例子中可以看出，兩個巴拿赫空間X和 Y之間的函式的n階弗雷歇導數是n次齊次函式。

n元單項式定義了齊次函式。

例如：

是10次齊次函式，因為：

。

齊次多項式是由同次數的單項式相加所組成的多項式。例如：

是5次齊次多項式。齊次多項式可以用來定義齊次函式。

套用

對於以下的微分方程

其中I和 J是同次數的齊次函式，利用變數代換v=y/x，可以把它化為可分離變數的微分方程：

。