非線性方程

非線性方程

線性方程,就是因變數自變數之間的關係不是線性的關係,這類方程很多,例如平方關係、對數關係、指數關係、三角函式關係等等。求解此類方程往往很難得到精確解,經常需要求近似解問題。相應的求近似解的方法也逐漸得到大家的重視。

基本介紹

  • 中文名:非線性方程
  • 外文名:non-linear equation
  • 不是線性關係因變數自變數之間的關係
  • 例如:平方關係、對數關係
  • 重視:求近似解
  • 學科:數理科學
定義,分類,非線性代數方程,非線性微分方程,常微分方程,偏微分方程,單擺,發展史,十一世紀前,十一世紀,十三世紀,十四世紀,十五世紀,十六世紀,十七世紀,十八世紀,求解,

定義

在數學上,一個線性函式映射
擁有以下兩個性質:
疊加性:
齊次:
α有理數的情況下,一個可疊加函式必定是齊次函式(在討論線性與否時,齊次函式專指一次齊次函式);若
連續函式,則只要α是任意實數,就可以從疊加性推出齊次。然而在推廣至任意複數α時,疊加性便再也無法導出齊次了。也就是說,在複數的世界裡存在一種反線性映射,它滿足疊加性,但卻非齊次。疊加性和齊次這兩個條件常會被合併在一起,稱之為疊加原理
對於一個表示為
的方程,如果
是一個線性映射,則稱為線性方程,反之則稱為非線性方程。另外,如果
,則稱此方程齊次(齊次在函式和方程上的定義不同,齊次方程指方程內沒有和x無關的項C,即任何項皆和x有關)。
這裡
的定義是很一般性的,
可為任何數字、向量、函式等,而
可以指任意映射,例如有條件限制(給定初始值或邊界值)的微分或積分運算。如果
內含有對
的微分運算,此方程即是一個微分方程。

分類

這些方程可分為兩類,一種是多項式方程,一種是非多項式方程。

非線性代數方程

主條目:代數方程
主條目:多項式
代數方程又稱為多項式方程。令某多項式等於零可得一個多項式方程,例如:
利用勘根法可以找出某個代數方程的解;但若是代數方程組則較為複雜,有時候甚至很難確定一個代數方程組是否具有複數解(見希爾伯特零點定理)。即使如此,對於一些具有有限個複數解的多項式方程組而言,我們已經找到解的方法,並且也已充分了解這種系統的行為。代數方程組的研究是代數幾何里重要的一環,而代數幾何正是現代數學裡的其中一個分枝。

非線性微分方程

若描述一個系統的微分方程是非線性的,則稱此系統為非線性系統。含有非線性微分方程的問題,系統彼此間的表現差異極大,而每個問題的解法或是分析方法也都不一樣。非線性微分方程的例子如流體力學的納維-斯托克斯方程,以及生物學的洛特卡-沃爾泰拉方程。
解非線性問題最大的難處在於找出未知的解:一般來說,我們無法用已知的解來拼湊出其他滿足微分方程的未知解;而線上性的系統里,卻可以利用一組線性獨立的解,透過疊加原理組合出此系統的通解。例如滿足狄利克雷邊界條件的一維熱傳導問題,其解(時間的函式)可以寫成許多不同頻率之正弦函式的線性組合,而這也讓它的解很彈性、具有很大的變化空間。通常我們可以找到非線性微分方程的特解,但由於此時疊加原理並不適用,故無法利用這些特解來建構出其他新的解。

常微分方程

一階常微分方程常常可以利用分離變數法來解,特別是自守方程
例如
這個方程式的通解為
,特解為u= 0(即通解在C趨近於無限大時的極限)。此方程是非線性的,因為它可以被改寫為
而等號左邊並不是u的線性映射。若把此式的u換成u,則會變成線性方程(指數衰減)。
二階和高階非線性常微分方程組的解幾乎無法表示成解析解,反而較常表為隱函式或非初等函式積分的形式。
分析常微分方程常用的方法包括:

偏微分方程

研究非線性偏微分方程最常見也最基礎的方法就是變數變換,變換以後的方程會較簡單,甚至有可能會變成線性方程。有時候,變數變換後的方程可能會變成一個或兩個以上的常微分方程(如同用分離變數法解偏微分方程),不管這些常微分方程可不可解,都能幫助我們了解這個系統的行為。
另一個流體力學和熱力學裡常用的方法(但數學性較低),是利用尺度分析來簡化一個較一般性的方程,使它僅適用在某個特定的邊界條件上。例如,在描述一個圓管內一維層流的暫態時,我們可以把非線性的納維-斯托克斯方程簡化成一個線性偏微分方程;這時候尺度分析提供了兩個特定的邊界條件:一維和層流。
其他分析非線性偏微分方程的方法還有特徵線法,以及上述分析常微分方程時常用的方法。

單擺

主條目:單擺
單擺(v 表示速度向量;a 表示加速度向量)
非線性問題的一個典型的例子,就是重力作用之下單擺的運動。單擺的運動可由以下的方程來描述(用拉格朗日力學可以證明):
這是一個非線性且無因次的方程,
是單擺和它靜止位置所夾的角度,如動畫所示。此方程的一個解法是將
視為積分因子,積分以後得
上述的解是隱解的形式,同時也包含了橢圓積分。這個解通常沒有什麼用,因為非初等函式積分(即使
仍然是非初等函式)把解的各種特性隱藏了起來,使我們不易看出單擺系統的行為。
另一個解法是把這個非線性方程作線性近似:利用泰勒展開式將非線性的 sine 函式線性化,並在某些特定的點附近討論解的情形。例如,若在
的點附近作線性近似(又稱小角度近似),
時,
,故原方程可以改寫為
近似後的方程變成了簡諧振盪,因此當單擺運動到底部附近時,可以對應到一個簡諧振子。而若在
(即當單擺運動到圓弧的最高點時)附近作線性近似,
,故原方程可以改寫為
這個方程的解含有雙曲正弦函式,因此和小角度近似不同,這個近似是不穩定的,也就是說
會無限制地增加(但此近似方程的解也可能是有界的)。當我們把解對應回單擺系統後,就可以了解為什麼單擺在圓弧的最高點時不能達到穩定平衡,也就是說,單擺在最高點時是不穩定的狀態。
另一個有趣的線性近似是在
附近,此時
,故原方程可以改寫為
這個近似後的方程可以對應到自由落體。
若把以上線性近似的結果合在一起看,就能大致了解單擺的運動情形。利用其他解非線性微分方程的方法,可以進一步幫助我們找到更精確的相圖,或是估算單擺的周期。

發展史

十一世紀前

1086~1093年,中國宋朝的沈括在《夢溪筆談》中提出“隙積術”和“會圓術”,開始高階等差級數的研究。

十一世紀

十一世紀,阿拉伯的阿爾·卡爾希第一次解出了二次方程的根。
十一世紀,阿拉伯的卡牙姆完成了一部系統研究三次方程的書《代數學》。
十一世紀,埃及的阿爾·海賽姆解決了“海賽姆”問題,即要在圓的平面上兩點作兩條線相交於圓周上一點,並與在該點的法線成等角
十一世紀中葉,中國宋朝的賈憲在《黃帝九章算術細草》中,創造了開任意高次冪的“增乘開方法”,並列出了二項式定理係數表,這是現代“組合數學”的早期發現。後人所稱的“楊輝三角”即指此法。
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十三世紀

十三世紀,印度的拜斯迦羅著《立刺瓦提》一書,這是東方算術和計算方面的重要著作。
1202年,義大利的裴波那契發表《計算之書》,把印度—阿拉伯記數法介紹到西方。
1220年,義大利的裴波那契發表《幾何學實習》一書,介紹了許多阿拉伯資料中沒有的示例。
1247年,中國宋朝的秦九韶著《數書九章》共十八卷,推廣了“增乘開方法”。書中提出的聯立一次同餘式的解法,比西方早五百七十餘年。
1248年,中國宋朝的李治著《測圓海鏡》十二卷,這是第一部系統論述“天元術”的著作。
1261年,中國宋朝的楊輝著《詳解九章算法》,用“垛積術”求出幾類高階等差級數之和。
1274年,中國宋朝的楊輝發表《乘除通變本末》,敘述“九歸”捷法,介紹了籌算乘除的各種運算法。
1280年,元朝《授時曆》用招差法編制日月的方位表(中國 王恂、郭守敬等)。
十四世紀中葉前,中國開始套用珠算盤。

十四世紀

1303年,中國元朝的朱世傑著《四元玉鑒》三卷,把“天元術”推廣為“四元術”。

十五世紀

1464年,德國的約·米勒在《論各種三角形》(1533年出版)中,系統地總結了三角學。
1494年,義大利的帕奇歐里發表《算術集成》,反映了當時所知道的關於算術、代數和三角學的知識。

十六世紀

1545年,義大利的卡爾達諾、費爾諾在《大法》中發表了求三次方程一般代數解的公式。
1550~1572年,義大利的邦別利出版《代數學》,其中引入了虛數,完全解決了三次方程的代數解問題。
1591年左右,德國的韋達在《美妙的代數》中首次使用字母表示數字係數的一般符號,推進了代數問題的一般討論。
1596~1613年,德國的奧脫、皮提斯庫斯完成了六個三角函式的每間隔10秒的十五位小數表。

十七世紀

1614年,英國的耐普爾制定了對數。
1615年,德國的開卜勒發表《酒桶的立體幾何學》,研究了圓錐曲線旋轉體的體積。
1635年,義大利的卡瓦列利發表《不可分連續量的幾何學》,書中避免無窮小量,用不可分量制定了一種簡單形式的微積分
1637年,法國的笛卡爾出版《幾何學》,提出了解析幾何,把變數引進數學,成為“數學中的轉折點”。
1638年,法國的費爾瑪開始用微分法求極大、極小問題。
1638年,義大利的伽里略發表《關於兩種新科學的數學證明的論說》,研究距離、速度和加速度之間的關係,提出了無窮集合的概念,這本書被認為是伽里略重要的科學成就。
1639年,法國的迪沙格發表了《企圖研究圓錐和平面的相交所發生的事的草案》,這是近世射影幾何學的早期工作。
1641年,法國的帕斯卡發現關於圓錐內接六邊形的“帕斯卡定理”。
1649年,法國的帕斯卡製成帕斯卡計算器,它是近代計算機的先驅。
1654年,法國的帕斯卡、費爾瑪研究了機率論的基礎。
1655年,英國的瓦里斯出版《無窮算術》一書,第一次把代數學擴展到分析學
1657年,荷蘭的惠更斯發表了關於機率論的早期論文《論機會遊戲的演算》。
1658年,法國的帕斯卡出版《擺線通論》,對“擺線”進行了充分的研究。
1665~1676年,牛頓(1665~1666年)先於萊布尼茨(1673~1676年)制定了微積分,萊布尼茨(1684~1686年)早於牛頓(1704~1736年)發表了微積分。
1669年,英國的牛頓、雷夫遜發明解非線性方程的牛頓—雷夫遜方法。
1670年,法國的費爾瑪提出“費爾瑪大定理”。
1673年,荷蘭的惠更斯發表了《擺動的時鐘》,其中研究了平面曲線的漸屈線和漸伸線
1684年,德國的萊布尼茨發表了關於微分法的著作《關於極大極小以及切線的新方法》。
1686年,德國的萊布尼茨發表了關於積分法的著作。
1691年,瑞士的約·貝努利出版《微分學初步》,這促進了微積分在物理學和力學上的套用及研究。
1696年,法國的洛比達發明求不定式極限的“洛比達法則”。
1697年,瑞士的約·貝努利解決了一些變分問題,發現最速下降線測地線

十八世紀

1704年,英國的牛頓發表《三次曲線枚舉》《利用無窮級數求曲線的面積和長度》《流數法》。
1711年,英國的牛頓發表《使用級數、流數等等的分析》。
1713年,瑞士的雅·貝努利出版了機率論的第一本著作《猜度術》。
1715年,英國的布·泰勒發表《增量方法及其他》。
1731年,法國的克雷洛出版《關於雙重曲率的曲線的研究》,這是研究空間解析幾何和微分幾何的最初嘗試。
1733年,英國的德·勒哈佛爾發現正態機率曲線。
1734年,英國的貝克萊發表《分析學者》,副標題是《致不信神的數學家》,攻擊牛頓的《流數法》,引起所謂第二次數學危機
1736年,英國的牛頓發表《流數法和無窮級數》。
1736年,瑞士的歐拉出版《力學、或解析地敘述運動的理論》,這是用分析方法發展牛頓的質點動力學的第一本著作。
1742年,英國的麥克勞林引進了函式的冪級數展開法。
1744年,瑞士的歐拉導出了變分法的歐拉方程,發現某些極小曲面。
1747年,法國的達朗貝爾等由弦振動的研究而開創偏微分方程論。
1748年,瑞士的歐拉出版了系統研究分析數學的《無窮分析概要》,這是歐拉的主要著作之一。
1755~1774年,瑞士的歐拉出版了《微分學》和《積分學》三卷。書中包括微分方程論和一些特殊的函式。
1760~1761年,法國的拉格朗日系統地研究了變分法及其在力學上的套用。
1767年,法國的拉格朗日發現分離代數方程實根的方法和求其近似值的方法。
1770~1771年,法國的拉格朗日把置換群用於代數方程式求解,這是群論的開始。
1772年,法國的拉格朗日給出三體問題最初的特解。
1788年,法國的拉格朗日出版了《解析力學》,把新發展的解析法套用於質點、剛體力學。
1794年,法國的勒讓德出版流傳很廣的初等幾何學課本《幾何學概要》。
1794年,德國的高斯從研究測量誤差,提出最小二乘法,於1809年發表。
1797年,法國的拉格朗日發表《解析函式論》,不用極限的概念而用代數方法建立微分學
1799年,法國的蒙日創立畫法幾何學,在工程技術中套用頗多。
1799年,德國的高斯證明了代數學的一個基本定理:實係數代數方程必有根。

求解

如何求解第一類多項式方程,已經有了比較成熟的理論和方法。比較常用的一種數值方法是疊代法,他能夠通過疊代次數的增加,而越來越接近方程的解
至於如何求解第二類非多項式方程,是數學領域中的一個重點研究方向。一般來說,求解此類方程是採用隨機搜尋的辦法。

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