馬可夫性質

馬可夫性質

馬可夫性質(Markov property)與群的許多判定問題相關的一類重要的代數性質的性質。有限呈示的群的一條代數性質稱為馬可夫性質。若滿足:1)存在一個有限呈示的群具有此性質,2)存在一個有限呈示的群不能嵌人一個具有此性質的群。例如:有限性、可交換性、具有字問題可解性、單性、自由性等均為馬可夫性質

基本介紹

  • 中文名:馬可夫性質
  • 外文名:Markov property
  • 領域:數學
  • 套用:機率論
  • 別稱:馬爾科夫性質
簡介,定義,套用舉例,賭徒輸光問題,無限制隨機遊動問題,相關知識,

簡介

馬可夫性質(英語:Markov property)是機率論中的一個概念,因為俄國數學家安德雷·馬爾可夫得名。當一個隨機過程在給定現在狀態及所有過去狀態情況下,其未來狀態的條件機率分布僅依賴於當前狀態;換句話說,在給定現在狀態時,它與過去狀態(即該過程的歷史路徑)是條件獨立的,那么此隨機過程即具有馬爾可夫性質。具有馬爾可夫性質的過程通常稱之為馬爾可夫過程

定義

數學上,如果
為一個隨機過程,則馬爾可夫性質就是
馬爾可夫過程通常稱其為(時間)齊次,如果滿足
除此之外則被稱為是時間)非齊次的。齊次馬爾可夫過程通常比非齊次的簡單,構成了最重要的一類馬爾可夫過程。
某些情況下,明顯的非馬爾可夫過程也可以通過擴展“現在”和“未來”狀態的概念來構造一個馬爾可夫表示。設
為一個非馬爾可夫過程。我們就可以定義一個新的過程
,使得每一個
的狀態表示
的一個時間區間上的狀態,用數學方法來表示,即
如果具有馬爾可夫性質,則它就是的一個馬爾可夫表示。 在這個情況下,也可以被稱為是二階馬爾可夫過程更高階馬爾可夫過程也可類似地來定義。
具有馬爾可夫表示的非馬爾可夫過程的例子,例如有移動平均時間序列。
最有名的馬爾可夫過程為馬爾可夫鏈,但不少其他的過程,包括布朗運動也是馬爾可夫過程。

套用舉例

賭徒輸光問題

兩個賭徒甲、乙進行一系列賭博。在每一局中甲獲勝的機率為p ,乙獲勝的機率為q,p+q=1,每一局後,負者要付一元給勝者。如果起始時甲有資本a 元,乙有資本b 元,a+b=c元,兩人賭博直到甲輸光或乙輸光為止,求甲輸光的機率。
這個問題實質上是帶有兩個吸收壁的隨機遊動。這時的狀態空間為{0,1,2,…, c }, c=a+b, a1,b  1。現在的問題是求質點從a 點出發到達0狀態先於到達c 狀態機率。

無限制隨機遊動問題

質點在直線上做隨機遊動。如某一時刻質點位於i,則下一步質點以機率p向右移動一格到達i+i。或以機率1-p=q向左移一格到達i-1。若以ξ(n) 表示時刻n時質點的位置,則{ξ(n),n=0,1,2,…}是一個隨機過程。而且當ξ(n) =i時, ξ(n+1), ξ(n+2),… ξ(n+k),…等n時刻後質點所處的狀態只與ξ(n)=i有關,而與質點在n以前是如何到達i的完全無關。所以它是一個齊次馬爾可夫鏈。

相關知識

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們