類氫原子是只擁有一個電子的原子，與氫原子同為等電子體，例如，He+, Li2+, Be3+與B4+等等都是類氫原子，又稱為“類氫離子”。類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統，描述這類系統的（非相對論性的）薛丁格方程式有解析解。類氫原子的粗略結構只跟主量子數 n有關。可是，更精確的模型，考慮到相對論效應與自旋-軌道效應，能夠分解能級的簡併，使譜線能更精細地分裂。
基本介紹
- 中文名：類氫原子
- 外文名：hydrogen-like atom
- 別名：類氫離子
薛丁格方程,角向部分,徑向部分解答,自旋-軌道作用,精細結構,
類氫原子（hydrogen-like atom）是只擁有一個電子的原子，與氫原子同為等電子體，例如，He+, Li2+, Be3+與B4+等等都是類氫原子，又稱為“類氫離子”。類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統，系統內的作用力只跟二體之間的距離有關，是反平方連心力。這反平方連心力二體系統不需再加理想化，簡單化。描述這系統的（非相對論性的）薛丁格方程式有解析解，也就是說，解答能以有限數量的常見函式來表達。滿足這薛丁格方程式的波函式可以完全地描述電子的量子行為。在量子力學里，類氫原子問題是一個很簡單，很實用，而又有解析解的問題。所推演出來的基本物理理論，又可以用簡單的實驗來核對。所以，類氫原子問題是個很重要的問題。
稱滿足上述系統的薛丁格方程式的波函式為單電子波函式，或類氫原子波函式。類氫原子波函式是單電子角動量算符 L 與其 z-軸分量算符 Lz的本徵函式。由於能量本徵值 E n 跟量子數 l，m 無關，而只跟主量子數 n 有關。所以，類氫原子波函式可以由主量子數 n 、角量子數 l 、磁量子數 m獨特地決定。因為構造原理，還必須加上自旋量子數 m s = ± 1 / 2。對於多電子原子，這原理限制了電子構型的四個量子數。對於類氫原子，所有簡併的軌域形成了一個電子層；每一個電子層都有其獨特的主量子數 n．這主量子數決定了電子層的能量。
除了氫原子（電中性）以外，類氫原子都是離子，都帶有正電荷量 e ( Z − 1 )；其中，e， Z 是原子序數。
薛丁格方程
類氫原子問題的薛丁格方程式為
- −ℏ2/(2μ) ∇2ψ+V(r)ψ=Eψ
- V(r)=−Ze2/(4πϵ0r)
其中，ϵ0是真空電容率，Z是原子序數，e 是單位電荷量，r是電子離原子核的距離。
採用球坐標 (r,θ,ϕ)將拉普拉斯運算元展開：
猜想這薛丁格方程式的波函式解 ψ(r,θ,ϕ)是徑向函式 Rnl(r) 與球諧函式 Ylm(θ,ϕ)的乘積：
角向部分
參數為天頂角和方位角的球諧函式，滿足角部分方程式
其中，非負整數 l是軌角動量的角量子數。磁量子數 m（滿足 −l≤m≤l ）是軌角動量對於 z-軸的（量子化的）投影。不同的 l與 m給予不同的軌角動量函式解答 Ylm：
而
是 l階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為
徑向部分解答
徑向函式滿足一個一維薛丁格方程式：
方程式左邊的第二項可以視為離心力位勢，其效應是將徑向距離拉遠一點。
除了量子數 ℓ 與 m以外，還有一個主量子數 n。為了滿足 Rnl(r) 的邊界條件，n必須是正值整數，能量也離散為能級
。隨著量子數的不同，函式 Rnl(r)與 Ylm都會有對應的改變。按照慣例，規定用波函式的下標符號來表示這些量子數。這樣，徑向函式可以表達為
其中，
。
近似於波耳半徑
。假若，原子核的質量是無限大的，則 
，並且，約化質量等於電子的質量，
。
是廣義拉格耳多項式，定義為
其中，
是拉格耳多項式，可用羅德里格公式表示為
其中l<n 。
自旋-軌道作用
電子的總角動量必須包括電子的自旋。在一個真實的原子裡，因為電子環繞著原子核移動，會感受到磁場。電子的自旋與磁場產生作用 ，這現象稱為自旋-軌道作用。當將這現象納入計算，自旋與角動量不再是保守的，可以將此想像為電子的進動。為了維持保守性，必須取代量子數 l、m與自旋的投影 ms，而以量子數 j，mj 來計算總角動量。
精細結構
非相對論性，無自旋的電子產生的譜線稱為粗略結構。類氫原子的粗略結構只跟主量子數 n有關。可是，更精確的模型，考慮到相對論效應與自旋-軌道效應，能夠分解能級的簡併，使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構，精細結構是一個 (Zα)2效應；其中，Z是原子序數，α是精細結構常數。
