霍奇理論

數學上，霍奇理論是光滑流形M的代數拓撲的研究的一個方面。

基本介紹

• 中文名：霍奇理論
• 學科：數學
• 領域：數學
• 套用：黎曼流形

簡介

數學上，霍奇理論是光滑流形M的代數拓撲的研究的一個方面。更精確的講，它尋找M的實係數上同調群在和M上的黎曼度量相關的一般化的拉普拉斯運算元的偏微分方程理論中的套用。它由霍奇於1930年代作為德拉姆上同調的擴展而發展出來。

套用

在三個層次上有重要套用：

• 黎曼流形：黎曼流形（Riemannian manifold）是一個微分流形，其中每點p的切空間都定義了點積，而且其數值隨p平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、曲率、函式梯度及向量域的散度。
• 凱勒流形：在數學中，一個凱勒流形（Kähler manifold）是具有滿足一個可積性條件的酉結構（一個U(n)-結構）的流形。特別地，它是一個黎曼流形、複流形以及辛流形，這三個結構兩兩相容。
• 復射影簇的代數幾何

最初的發展過程中，M取作緊緻並且無邊界流形。在所有三個層次上，該理論的後續工作很有影響，作出貢獻的有小平邦彥（可能部分受到在普林斯頓的赫爾曼·外爾的影響）和後來的很多人。

霍奇猜想

霍奇猜想（英語：Hodge conjecture）是代數幾何的一個重大的懸而未決的問題。它是關於非奇異復代數簇的代數拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關聯的猜想。它在威廉·瓦倫斯·道格拉斯·霍奇著述的一個結果中出現，他在1930至1940年間通過包含額外的結構豐富了德拉姆上同調的表述，這種結構出現於代數簇的情況（但不僅限於這種情況）。

參看

• 霍奇鏈
• 霍奇猜想
• 周期映射
• Torelli定理
• 霍奇的結構的變化
• Yoga of weights (代數幾何)