霍奇猜想是代數幾何的一個重大的懸而未決的問題。由威廉·瓦倫斯·道格拉斯·霍奇提出，它是關於非奇異復代數簇的代數拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關聯的猜想。屬於世界七大數學難題之一。
基本介紹
- 中文名：霍奇猜想
- 外文名：Hodge Conjecture
- 提出人：威廉·瓦倫斯·道格拉斯·霍奇
- 屬於：世界七大數學難題之一
簡介,背景,問題,現狀,已知的情形,
簡介
霍奇猜想 (Hodge Conjecture)
背景
二十世紀的數學家們發現了研究複雜對象的形狀的強有力的辦法。 基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程式的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的（有理線性）組合。
問題
霍奇猜想是代數幾何的一個重大的懸而未決的問題。它是關於非奇異復代數簇的代數拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關聯的猜想。它在霍奇的著述的一個結果中出現，他在1930至1940年間通過包含額外的結構豐富了德拉姆上同調的表述，這種結構出現於代數簇的情況（但不僅限於這種情況）。
現狀
黎曼假設、龐加萊猜想、霍奇猜想、貝赫和斯維訥通－戴爾猜想、納維葉―斯托克斯方程、楊―米爾理論、P問題對NP問題被稱為21世紀七大數學難題。2000年5月，美國的克萊數學促進會為每道題懸賞百萬美元求解。目前，這一難題仍沒有被破解。
已知的情形
對於(1,1)類的霍奇猜想已經在霍奇本人提出本猜想前的1924年由 Lefschetz證明。換句話說，霍奇猜想對於H^2成立。實際上，這是霍奇提出其猜想的動機之一。
除此以外，還成立以下定理：如果霍奇猜想對於度數p的霍奇類成立，其中p<n，n是上述射影代數簇的維數，那么對於度數為2n-p的霍奇類，霍奇猜想也成立。
