雙邊拉普拉斯變換

雙邊拉普拉斯變換是一種積分變換，作用對象是任意實數t的實數函式或是複變函數 f(t)，作用結果是F(s)，其形式類似機率中的動差生成函式，雙邊拉普拉斯變換和傅立葉變換、Mellin 變換及單邊的拉普拉斯變換有緊密的關係。

基本介紹

• 中文名：雙邊拉普拉斯變換
• 外文名：Bilateral Laplasse Transform
• 提出者：拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)
• 提出時間：1778年
• 套用學科：信號處理，通信控制

定義

若ƒ(t)為實數t的實數函式或是複變函數，t可以為任意實數，則雙邊拉普拉斯變換可以用以下的積分表示：

此積分為反常積分，此積分收斂若且唯若以下二個積分都存在：

上述F(s)在s的的某一區域內收斂（即小於無窮大），則由此積分確定的函式稱為f(t)的雙邊拉普拉斯變換，或稱為f(t)的象函式。而稱f(t)為F(s)的原函式。

使得F(s)收斂的s的取值範圍稱為拉氏變換的收斂域。

註：在給出某函式的雙邊拉氏變換時必須註明其收斂域。

優點

1. 信號不必限制在範圍t>0內，在某些情況下把所研究的問題從時間負無窮到正無窮上作統一考慮，可使概念更清楚。
   
2. 雙邊拉氏變換與傅立葉變換的聯繫密切，便於全面理解傅氏變換，拉氏變換及Z變換的關係。
   

與傅氏變換的關係

f(t)的雙邊拉普拉斯變換其實就是 的傅氏變換。如果雙邊拉普拉斯變換式的收斂域包括虛軸在內，則把F(s)中的s代換成jw就得到f(t)的傅氏變換，即有：

故可以把傅氏變換看成雙邊拉氏變換的特例，或雙邊拉氏變換是傅氏變換的推廣。

性質

1.線性。

若有：,

其收斂域為

則有：

其中為常數，可為實數也可為複數，收斂域R一般取的重疊部分，也有可能擴大，若無重疊部分，此性質不成立。該性質利用拉氏正變換性質即可得。

2.延時(時移特性)

若有：則有：

其中 可正可負，收斂域不變。

3.s域平移

若有,其收斂域為R，則有：

其收斂域為 ，其中Re{-a}表示取-a的實部。