集中趨勢量數

在統計學中，集中趨勢（central tendency）或中央趨勢，在口語上也經常被稱為平均，表示一個機率分布的中間值。最常見的幾種集中趨勢包括算數平均數、中位數及眾數。集中趨勢可以由有限的數組（如一群樣本）中或理論上的機率分配（如常態分配）中求得。有些人使用集中趨勢（或集中性）這個辭彙以表示“數量化的資料之中央值的趨勢”。在這種意義下，我們可以利用資料的離散程度（例如標準偏差或四分差等相似的統計量）判別其集中趨勢的程度。

集中趨勢（central tendency）一詞於1920年代後期出現。

基本介紹

• 中文名：集中趨勢量數
• 外文名：Central tendency
• 領域：統計學

統計量

一維資料的集中趨勢可能有以下數種統計方法。在某些情況下，經轉型（data transformation）後的資料才採用以下的方法。

算數平均數

觀測值的總和除以觀測值的個數，即 。常簡稱為平均數，也往往是背後機率分布的期望值之不偏估計。

中位數

將所有觀測值按大小排序後在順序上居中的數值。

眾數

出現最多次的觀測值。

幾何平均數

觀測值的乘積之觀測值個數方根，即

調和平均數

觀測值個數除以觀測值倒數的總和，即

加權平均數

考慮不同群資料貢獻程度不同時的算數平均數。

截尾平均數（truncated mean）

忽略特定比例或特定數值之外的極端值後所得的平均數。例如，四分平均數（interquartile mean）正是忽略25%前及75%後的資料後所得的算數平均數。

全距中點（midrange）

最大值與最小值的算數平均數，即

中樞紐（midhinge）

第一四分位數與第三四分位數的算數平均數，即

三均值（trimean）

考慮三個四分位數的加權平均數，即

極端值調整平均數（winsorized mean）

以最接近的觀測值取代特定比例的極端值後取得的算數平均數。舉例來說，考慮10個觀測值（由小到大排列為 至 ）的情況下，10%的極端值調整平均數為

其中分別以 和 取代了 和 。

以上的統計量在多維變數中仍可單獨地被套用在各個維度上進行，但並不能保證在轉軸後仍維持一致的結果。

數的關係

在左右對稱的機率分布中，不同的集中趨勢統計量有相同結果，但在偏度遠離0時則可能不一致。在單峰型的機率分布（unimodal probability distribution）中，平均數（μ）、中位數（ν）與眾數（θ）的關係如下：

其中σ為標準偏差。至於任一機率分布， 。