階乘(階乘符號):歷史,定義,零的階乘,性質,分析學方面,數論方面,計算,部分計算

階乘

階乘符號一般指本詞條

階乘（factorial）是基斯頓·卡曼（Christian Kramp，1760～1826）於1808年發明的運算符號.正整數的階乘定義為所有小於及等於該數的正整數的積，記為n!，例如5的階乘表示為5!，其值為120：5!=1×2×3×4×5=120.

特別地，定義1!=1，0!=1.

階乘運算滿足遞推公式n!=n·(n-1)!，除了自然數之外，階乘亦可定義於整個實數（負整數除外），此時一般稱其為伽瑪函式.

階乘被套用在許多數學領域中，最常套用在組合數學、代數學和數學分析中.在組合數學中，階乘代表的意義為幾個相異對象任意排列的數量，例如5!=120代表了5個相異對象共有120種排列法.在正整數的情形下，n的階乘即組合數學中n的排列數.

基本介紹

中文名：階乘
外文名：factorial
所屬學科：數學
提出者：基斯頓卡曼（Christian Kramp）
發明時間：1808年

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歷史

早在12世紀，印度學者就已有使用階乘的概念來計算排列數的紀錄.今天使用的符號是由法國數學家基斯頓·卡曼於1808年引入的.

定義

對於一個正整數n，n的階乘可通過連乘積來定義：

用連乘積符號可以表示為：

從上述公式中，可以推導出遞推關係式：

例：

零的階乘

為了將遞推關係式擴展到

，需要定義0的階乘：0!=1

因此由遞推公式可以得到：

有幾種獨立的理由認為這個定義是和諧的：

1.當

時，

定義為“沒有任何數字相乘的結果”，因此這是一個更廣泛的定義“空積（emptyproduct）”的例子；

2．在組合數學中，對0個物品只有一種排列方式，即0個物品的全排列

；

3，同樣，在空集合中選擇0個元素組成不同組的方法只有一種，即

；

註：

與

都表示從

個不同元素中取出

個元素的組合數：

4.考慮r函式在

點處的情況，

，r函式需要滿足該值才能在該點連續.

性質

階乘函式的性質眾多，這裡只能簡單列舉幾個常見的性質.

分析學方面

考慮

，其增長速率比指數函式

要快，但比雙指數函式

要慢（a,b>0）.事實上，

的增長速率與

相同.原因是

註：這裡的約等號事實上並不嚴謹，對上述命題的嚴謹證明如下：

由關係式

推出

但是，

因此當

時，有

由於當

時有

，公式

的相對誤差當

時趨於零.

經典的斯特林公式（Stirling's approximation）如下：

事實上，這是公式

在

上的特殊情況這個公式意味著我們可以通過

來近似的估計

的大小.斯特林公式給出了這個漸進級數的第一項，當項數增加時，可以得到更精確的結果，如

另一個版本是使用奇數級指數函式來近似.

數論方面

整數的階乘定義意味著

可分為小於等於

的素因子的乘積，

的素因子

的指數由勒讓德公式（Legendre'sformula）給出:

註：設

為任意實數，則

表示不超過x的最大整數.

由此可推出

的標準分解式為

例1：求 100！中 3 的指數.

解：

例2：

是勒讓德公式的一個特殊情況，

給出了

這個數字末尾的0的數量（即正好可以被10的

次冪整除）.事實上，由勒讓德公式知

的指數總是大於

的指數，這樣每個因子5才能與一個因子2配對.

關於可分性的另一個結果是威爾遜定理（Wilson'stheorem）：一個自然數

是質數若且唯若

對非負整數

和

，滿足

事實上，只需要考慮

是整數即可.

若

是

次本原多項式，定義

.那么

整除

有無限多的階乘等於其他階乘的乘積，如果$n$ 本身就是階乘的乘積，那么

自然也是階乘的乘積（這是平凡的）.目前已知的不平凡的例子只有

，

計算

階乘是科學計算器中常見的功能，計算

時，若

不太大，普通的科學計算機都可以計算，能夠處理不超過

數值的計算機可以計算至

，而雙精度浮點數的計算機則可計算至

當

很大時，可用斯特林公式估計：

更精確的估計是使用

等方法。

下面介紹一個簡單的計算階乘的例子：計算10的階乘的C語言代碼如下.

#include<stdio.h>
int main(){
	int n,x;
    for(n=x=1;x<=10;++n){
    	x*=n;
    }
    printf("%d\t%d\n",n,x);
}

部分計算值

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	1.551121004×10
50	3.041409320×10
70	1.197857167×10
100	9.332621544×10
450	1.733368733×10
1000	4.023872601×10
3249	6.412337688×10
10000	2.846259681×10
25206	1.205703438×10
100000	2.824229408×10
205023	2.503898932×10
1000000	8.263931688×10
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