阿波羅尼奧斯圓

註：區別於阿波羅尼奧斯對圓的研究

如右圖，阿波羅尼奧斯圓談論兩個相關的圓圈家族。第一個家族的每一個藍圓圈與第二個家族的每一個紅圓圈相互正交。這些圓圈形成了雙極坐標系的基。阿波羅尼奧斯圓是著名的希臘數學家阿波羅尼奧斯 (Ἀπολλώνιος) 發現的。

阿波羅尼奧斯圓圈可以由線段定義的，標記此線段為 。第一個家族的任何一個藍圓圈 Bk 所包含的每一點 Pk，離點 C 與點 D 的距離呈固定比例 k >0：cpk:dpk=k.

不一樣圓圈的固定比例 必不一樣。圓圈與圓圈之間互不同心，互不相交。

每一個藍圓圈與每一個紅圓圈的直角相交，可以簡易地解釋如下：關於一個圓心為點 C 的圓圈 Q ，一家族的藍阿波羅尼奧斯圓圈的反演，造成了一組同心圓，其圓心在點 D' 。點 D 關於圓圈 Q 的反演是點 D' 。同樣地運算將一家族的紅圓圈 反演為一組從點 D' 放射出來的直線。這樣，反演將雙極座標變換為極座標。在極座標里，每一條徑向線與 圓心為原點的圓圈 以直角相交。由於反演是一個共形變換，所以，每一個藍圓圈與每一個紅圓圈以直角相交。