阿波羅尼奧斯圓族

阿波羅尼奧斯圓族(circles of Apollonius)由複平面上的兩個點確定的一類圓周的總稱。

基本介紹

• 中文名：阿波羅尼奧斯圓族
• 外文名：circles of Apollonius
• 學科：數理科學
• 定義：兩個相關的圓族
• 相關：線段
• 發現人：阿波羅尼奧斯

定義

阿波羅尼奧斯圓族是兩個相關的圓族。第一個圓族的每一個藍色圓與第二個圓族的每一個紅色圓相互正交。這些圓構成了雙極坐標系的基。阿波羅尼奧斯圓是希臘數學家阿波羅尼奧斯(古希臘語：Ἀπολλώνιος) 發現的。

阿波羅尼奧斯圓是線段定義的，標記此線段為 。

第一族（藍色圓）

第一族中的每一個都由一個正實數確定，這些圓定義為滿足下列條件的點的軌跡：

即到的距離與到的距離之比為.

當很接近零時，相應的圓會靠近的一側，而對接近 的, 相應的圓則靠近的一側。至於當時，該圓會退化為線段之中垂線。

第二族（紅色圓）

第二族中的每個圓都由角確定， 這些圓定義為滿足下列條件的點的軌跡：

其中 表示的有向角。

當取遍 0 到之所有值時，上式生成所有經過和的圓。

性質

不一樣圓圈的固定比例必不一樣。圓與圓之間互不同心，互不相交。

每一個藍圓與每一個紅圓以直角相交，可以簡易地解釋如下：關於一個圓心為點 的圓 ，一族的藍阿波羅尼奧斯圓的反演像，形成了一組同心圓，其圓心在點 。點 關於圓 的反演是點 。同樣的變換把一族的紅圓反演為一組從點放射出來的直線。這樣，反演將雙極坐標變換為極坐標。在極坐標里，每一條徑向線與 圓心為原點的圓圈 以直角相交。由於反演是一個共形變換，所以，每一個藍圓圈與每一個紅圓圈以直角相交。

圖1 阿波羅尼奧斯圓族