阿代爾環

在數論中，阿代爾環（法文：adèle，英譯多用原文）又名賦值向量環，是由一個域 F 的所有完備化構成的拓撲環A_F，原域F 可以對角方式嵌入其中。

在現代代數數論中，賦值向量環是處理整體問題的基本語言。

基本介紹

• 中文名：阿代爾環
• 外文名：adéle ring
• 又名：賦值向量環
• 套用學科：數學
• 相關術語：阿代爾群
• 套用領域：代數數論

定義

設F為整體域，例如有理數域 、一般的數域或函式域 等等。設 為其中的代數整數環。對於所有F上的賦值（又稱位），可定義相應的完備化 。在此，通常將賦值分為有限與無限兩類：

（1）有限賦值：一一對應於 的素理想，兩兩不相等價。其中的賦值環記為 。

（2）無限賦值：F上的阿基米德賦值。對於數域，無限賦值系由域的嵌入 給出，兩個嵌入 給出等價賦值的充要條件是其間至多差一個復共軛： 。無限賦值的個數有限。

有時也以素理想的慣用符號 表示賦值，並以表示 為無窮賦值。

定義

上式的積稱為限制積，這是 的子環，我們要求對其中的每個元素 ，存在包含所有無窮賦值的有限集 ，使得 。賦予 相應的子空間拓撲，是為賦值向量環。

的拓撲由在 點的一組局部基確定，可取下述形式之開集：

其中S是函括所有無限賦值的有限集， 是 的開子集。根據吉洪諾夫定理可知 為局部緊拓撲環，這是採用限制積定義的原因之一。

性質

（1）對角嵌入 的像落在 ，可證明F構成 的離散子集，而商群 是緊群。

（2）固定 的任一特徵標，則任何特徵標 皆可唯一地表示成 ，是故加法群 是其自身的對偶群。這是在阿代爾環上開展調和分析的關鍵之一。

套用

阿代爾環主要用於代數數論中。對於F上的代數群G，可考慮其上的 點 。由於代數群總是線性的（換言之，可嵌入 ）， 可以具體構想為係數布於環 上的線性群，並帶有自然的拓撲結構。

最簡單的情形是 ，此時 稱為 idèle 群，這是整體類域論的基石。在郎蘭茲綱領中，須考慮更廣泛的代數群，以描述數域的絕對伽羅瓦群。