間斷點

間斷點是指：在非連續函式y=f(x)中某點處x_o處有中斷現象，那么，x_o就稱為函式的不連續點。

間斷點可以分為無窮間斷點和非無窮間斷點，在非無窮間斷點中，還分可去間斷點和跳躍間斷點。左右極限存在且相等是可去間斷點，左右極限存在且不相等才是跳躍間斷點。

基本介紹

• 中文名：間斷點
• 外文名：point of discontinuity
• 詞性：名詞
• 概念：某點處xo處有中斷現象
• 類型：可去間斷點，跳躍間斷點等
• 套用學科：微積分

定義

設一元實函式f（x）在點x0的某去心鄰域內有定義。如果函式f(x)有下列情形之一：

震盪間斷點

（1）函式f(x)在點x₀的左右極限都存在但不相等，即f(x₀+)≠f(x₀-)；

（2）函式f(x)在點x₀的左右極限中至少有一個不存在；

（3）函式f(x)在點x₀的左右極限都存在且相等，但不等於f(x₀)或者f(x)在點x₀無定義。

則函式f(x)在點x0為不連續，而點x0稱為函式f(x)的間斷點。

類型

幾種常見類型。

可去間斷點：函式在該點左極限、右極限存在且相等，但不等於該點函式值或函式在該點無定義。如函式y=（x^2-1)/(x-1)在點x=1處。（圖一）

跳躍間斷點：函式在該點左極限、右極限存在，但不相等。如函式y=|x|/x在點x=0處。（圖二）

無窮間斷點：函式在該點可以無定義，且左極限、右極限至少有一個不存在，且函式在該點極限為∞。如函式y=tanx在點x=π/2處。（圖三）

振盪間斷點：函式在該點可以無定義，當自變數趨於該點時，函式值在兩個常數間變動無限多次。如函式y=sin(1/x)在x=0處。（圖四）

可去間斷點和跳躍間斷點稱為第一類間斷點，也叫有限型間斷點。其它間斷點稱為第二類間斷點。

由上述對各種間斷點的描述可知，函式f(x)在第一類間斷點的左右極限都存在，而函式f(x)在第二類間斷點的左右極限至少有一個不存在，這也是第一類間斷點和第二類間斷點的本質上的區別。

第二類間斷點

第一類間斷點

例子

可去不連續點

1. 考慮以下函式：

點是可去不連續點。

2. 考慮以下函式：

點是跳躍不連續點。

3. 考慮以下函式：

點是第二類不連續點，又稱本性不連續點。