基本介紹
- 中文名：逆矩陣
- 外文名：inverse matrix
- 所屬學科：線性代數
- 學科分類：高等數學術語
- 別稱：非奇異矩陣，滿秩矩陣
定義,定理,性質,性質定理,證明,可逆等價條件,逆矩陣求法,求逆矩陣的初等變換法,初等變換法計算原理,伴隨矩陣法,
定義
一個n階方陣A稱為可逆的，或非奇異的，如果存在一個n階方陣B，使得
定理
（1）驗證兩個矩陣互為逆矩陣
按照矩陣的乘法滿足：
故A，B互為逆矩陣。
（2）逆矩陣的唯一性
若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的。
證明：
若B,C都是A的逆矩陣，則有
（3）判定簡單的矩陣不可逆
如
。假設有
是A的逆矩陣，則有
比較其右下方一項：0≠1。
若矩陣A可逆，則 |A|≠0
若A可逆，即有A-1，使得AA-1=E，故|A|·|A-1|=|E|=1
則|A|≠0
性質
性質定理
- 可逆矩陣一定是方陣。
- 如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。
- A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作（A-1）-1=A。
- 可逆矩陣A的轉置矩陣AT也可逆，並且（AT）-1=（A-1）T (轉置的逆等於逆的轉置）
- 若矩陣A可逆，則矩陣A滿足消去律。即AB=O（或BA=O），則B=O，AB=AC（或BA=CA），則B=C。
- 兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。
- 矩陣可逆若且唯若它是滿秩矩陣。
證明
- 逆矩陣是對方陣定義的，因此逆矩陣一定是方陣。
設B與C都為A的逆矩陣，則有B=C - 假設B和C均是A的逆矩陣，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩陣的任意兩個逆矩陣相等。
- 由逆矩陣的唯一性，A-1的逆矩陣可寫作（A-1）-1和A，因此相等。
- 矩陣A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I
由可逆矩陣的定義可知，AT可逆，其逆矩陣為（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩陣，由逆矩陣的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。 - 1）在AB=O兩端同時左乘A-1（BA=O同理可證），得A-1（AB）=A-1O=O
而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O
2）由AB=AC（BA=CA同理可證），AB-AC=A(B-C)=O，等式兩邊同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。
得B-C=O，即B=C。
可逆等價條件
若|A|≠0，則矩陣A可逆，且
其中，A*為矩陣A的伴隨矩陣。
證明：
必要性：當矩陣A可逆，則有AA-1=I 。（其中I是單位矩陣）
兩邊取行列式，det（AA-1）=det（I）=1。
由行列式的性質：det（AA-1）=det（A）det（A-1）=1
則det（A）≠0，（若等於0則上式等於0）
當det（A）≠0，等式同除以det（A），變成
比較逆矩陣的定義式，可知逆矩陣存在且逆矩陣
逆矩陣求法
求逆矩陣的初等變換法
將一n階可逆矩陣A和n階單位矩陣I寫成一個nX2n的矩陣
對B施行初等行變換，即對A與I進行完全相同的若干初等行變換，目標是把A化為單位矩陣。當A化為單位矩陣I的同時，B的右一半矩陣同時化為了A的逆矩陣。
如求
的逆矩陣A-1。
故A可逆並且，由右一半可得逆矩陣A-1=
初等變換法計算原理
若n階方陣A可逆，即A行等價I，即存在初等矩陣P1，P2,...,Pk使得
比較兩式可知：對A和I施行完全相同的若干初等行變換，在這些初等行變化把A變成單位矩陣的同時，這些初等行變換也將單位矩陣化為A-1。
如果矩陣A和B互逆，則AB=BA=I。由條件AB=BA以及矩陣乘法的定義可知，矩陣A和B都是方陣。再由條件AB=I以及定理“兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積”可知，這兩個矩陣的行列式都不為0。也就是說，這兩個矩陣的秩等於它們的級數（或稱為階，也就是說，A與B都是方陣，且rank(A) = rank(B) = n）。換句話說，這兩個矩陣可以只經由初等行變換，或者只經由初等列變換，變為單位矩陣。
伴隨矩陣法
如果矩陣
可逆，則
