逆映射

設 f：A→B是集合A到集合B上的一一映射，如果對於B中每一個元素b，使b在A中的原象a和它對應，這樣得到的映射稱為映射 f：A→B的逆映射，記作 1/f：B→A。必須是一一對應的單射才能滿足。

基本介紹

• 中文名：逆映射
• 外文名：pre-image
• 學科：數學
• 前提：必須是一一對應的單射
• 相關概念：單射、滿射
• 判定：f是可逆映射，必要且只要f是雙射

定義

（1）單射：設f是集合A到集合B的一個映射，如果對於任意a，b屬於A，當a不等於b時有f(a)不等於f(b)，則稱f是A到B內的單映射 。

（2）滿射：如果對任意的b屬於B都有一個a屬於A使得f（a）=b，則稱f是A到B上的映射，或稱f是A到B的滿映射。

（3）逆映射：設有映射f：A->B,如果存在映射g：B->A使得g*f=IA，f*g=IB其中IA、IB分別是A與B上的恆等映射，則稱g為f的逆映射。

逆映射，用較為通俗但不太嚴格的語言來表述，就是：設有映射f：A—B，若存在映射g：B—A，使得：

1）先執行f，再執行g，執行的結果是gf：A—A，即gf等於A上的恆等映射 ；

2）先執行g，再執行f，執行的結果是fg：B—B，即fg等於B上的恆等映射，則g叫做f的逆映射。畫一個圖，更直觀。

設f：A→B，如果有g：B→A使得g。f=，f。g=。則說f是可逆映射。

性質

設f：A→B是可逆映射，那么使得g。f=，f。g=的g：B→A是由f唯一確定的（此時記g=)。

證：如果還有h:B→A使g。h=，f。h=，那么可得（g。f）。h=g。（f。h） 但（g。f）。h=。h=h，g。（f。h）=g。=g，從而h=g.。當f：A→B可逆時，這個由f唯一確定的映射：B→A即稱為f的逆映射。

判定

映射f：A→B是可逆映射，必要且只要f是雙射。

證明：如果f是可逆映射，那么，應有映射g：B→A使得g。f=，f。g=。由於恆等映射是單的，則易證f是單射。由於恆等映射是單的，則易證f是滿射。所以 f是雙射。
　　

反過來，如果f：A→B是個雙射，對任意bB，由於f為雙射，故必有且只有一個aA使f（a）=b。則按這個規則，B中每一個元素b都有且只有一個aA與之對應。這個規則（也就是B到A的一個映射）記為g，則g：B→A對任意bB，g（b）=a，f（a）=b。

則對任意bB，設f（a）=b則（f。g）（b）=f（g（b））=f（a）=b=（b），也就是f。g=。

同樣，對任意aA，設f（a）=b，則（g。f）（a）=g（f（a））=g（b）=a=（a），也就是g。f=。