基本介紹
- 中文名：保序映射
- 外文名：order-preserving mapping
- 性質：序論中的一種重要映射
- 所屬學科：數學
- 相關概念：偏序集，反序映射等
基本介紹,相關定理,格的保序映射,
基本介紹
(1)若
則稱
為保序映射或序同態；
(2)若
則稱 為逆序映射或反序同態；
(3)若
，則稱 為保任意並映射，簡稱保並映射；
(4)若
，則稱 為保任意交映射，簡稱保交映射；
(5)若(3)和(4)中的S限定取有限集時，則稱 為保有限並映射與保有限交映射；
顯然，保(有限)並映射或保(有限)交映射都是保序映射，反之不然。
(6)若θ 為保序雙射，並且其逆映射也是保序映射，則稱θ 為序同構；
(7)若θ 為反序雙射，並且其逆映射也是反序映射，則稱θ 為反序同構（或對偶同構）。
顯然序同構一定是序同態，當
時，序同態（或序同構）θ 叫做偏序集
的自同態（或自同構）。若序同態
是滿射，則稱偏序集P與Q同態，記作
；若 是序同構，則稱P與Q同構，記作
：若P與Q的某一個子偏序集同構，則稱偏序集P可同構嵌入到偏序集Q中，若 是對偶同構，並且 ，則稱 為P的一個自對偶同構，並說偏序集P是自對偶的。
顯然，與
同構的偏序集一定與P對偶同構，偏序集在一個反序同構對應下，若不是自對偶的。就一定是成對地對偶的。同樣地，關於偏序集的定義和定理，在一個反序同構對應下，若不是自對偶的，就一定是成對地對偶的。
相關定理
由序同構及反序同構的定義，容易證明下述定理。
定理1 設 與
是兩個偏序集， 是滿射，則下述條件等價：
(1)θ 是序同構（反序同構）；
(2)θ 是可逆映射，並且θ 與
皆是保序的（反序的）；
(3)θ 是雙保序的（雙反序的），即
，
註：定理1(2)中要求 保序（反序）是必需的，存在雙射（即可逆映射） ，使得θ 是保序的，但 不是保序的，因而θ 不是序同構。
設A是任意一個偏序集，
，稱A的下述子集
，為由
決定的截段。
在偏序集
與偏序集
之間定義映射：
。則易見
，若且唯若
。特別，當
時，必有
。因此A與
的子偏序集
同構，即偏序集A可以同構嵌入到偏序集 中，於是我們證明了下述結果。
定理2 任意偏序集 均可同構嵌入到某個集合A的冪集偏序集 中。
該定理表明了冪集偏序集的特殊地位。
利用序同構的定義，關於有限偏序集的示圖，顯然有：
(1)兩個有限偏序集同構若且唯若它們可由同一個Hasse圖表示；
(2)偏序集P的對偶
的示圖可由P的示圖上下倒置得到；
(3)有限偏序集P自對偶，若且唯若P有一個上下對稱的示圖。
根據(1)，對於每一個確定的自然數n，有可能求得所有彼此不同構的n階偏序集的個數。
推論1兩個有限鏈（反鏈）同構若且唯若它們的長（寬）相等。
關於對偶同構，我們易證下面定理成立。
定理3 設 與 是兩個偏序集， 是對偶同構，A是P的子集，
，則
(1) b是A的最大（小）元
是
的最小（大）元；
(2) b是A的極大（小）元 是 的極小（大）元；
(3) b是A的上（下）界 是 的下（上）界；
(4) b是A的上（下）確界 是 的下（上）確界；
(5) b是P的單位元（零元） 是
的零元（單位元）。
根據定理3，顯然有：
對偶原則 若一個關於偏序集的命題在所在偏序集中為真，則其對偶命題（即把其中的偏序代以逆序，最大（小）元代以最小（大）元，極大（小）元代以極小（大）元，上（下）界代以下（上）界，上（下）確界代以下（上）確界，單位元代以零元（單位元），等等）亦真。
設A是任意集合，A的子集族S叫做一個子集環，如果S關於集合的交、並封閉，即
，稱S是一個子集域，如果S關於集合的交、並、補封閉，其中補封閉是指
。
顯然A的冪集 是一個子集環，也是一個子集域。
定義 設P偏序集，
，
(1)如果
，那么
，則稱A是上集（或序濾子）；
(2)對偶地，如果
，那么 ，則稱A是下集（或序理想）。
容易證明：
定理4 設P偏序集，則
(1)
是P的上集（下集）；
(2) P的任意多個上集（下集）的並、交仍是上集（下集）；
(3) A是上集若且唯若
是下集；
(4) P的所有上集（下集）構成一個子集環。
設
，定義
{
存在
使得
}，
{ 存在 使得
}。
定理5 設P偏序集，
，則以下各條等價：
(1)；
(2) 
；
(3) 對任意P的下集Q，
。
格的保序映射
設φ是格
到
的一個映射，如果對任意
，如果
，則
，稱
是一個從格
到
的保序映射。
定理6設φ是格到的一個映射，則
(1) 如果φ是一個同態映射，則φ一定是一個保序映射；
(2) 如果φ是雙射，則φ是同構映射，若且唯若
都是保序映射。
(1)中表明保序映射只是同態映射的必要條件，不是充分條件。利用定理(2)可方便地判別兩個格是否同構。如果兩個格同構，則兩者元素個數一定相同。
