轉軸公式

轉軸公式是坐標軸的旋轉公式的簡稱。轉軸公式分為平面直角坐標系中的轉軸公式和空間直角坐標系中的轉軸公式。例如在平面直角坐標系中，不改變原點的位置和坐標軸的長度單位，將兩坐標軸按同一方向繞原點旋轉同一角度的坐標變換叫做坐標軸的旋轉，簡稱轉軸。設坐標軸的旋轉角為θ，P是平面的任意一點，在原坐標系xOy中的坐標為(x，y)，在新坐標系x′Oy′中的坐標為(x′，y′)，描述則(x，y)與(x′，y′)之間關係的公式叫做坐標軸的旋轉公式，簡稱轉軸公式。

基本介紹

• 中文名：轉軸公式
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：解析幾何
• 簡介：坐標軸的旋轉公式

平面直角坐標系中的轉軸公式

設坐標軸的旋轉角為θ，P是平面的任意一點，在原坐標系xOy中的坐標為(x，y)，在新坐標系x′Oy′中的坐標為(x′，y′)(如圖1)，則

或

叫做坐標軸的旋轉公式，簡稱轉軸公式。

說明：(1)為便於記憶，可將轉軸公式寫成矩陣形式：

或

矩陣的乘法按如下規定進行：

(2)逆時針旋轉坐標軸時，旋轉角θ取正值；順時針旋轉坐標軸時，旋轉角θ取負值。

空間直角坐標系中的轉軸公式

空間直角坐標變換是一類重要的坐標變換，設空間任意一點M在空間直角坐標系{O;i，j，k}的坐標為(x，y，z)，在新坐標系{O′;i′，j′，k′}的坐標為(x′，y′，z′).即有=xi+yj+zk，=x′i′+y′j′+z′k′。又設新原點O′在舊坐標系中的坐標為(h₁，h₂，h₃)，新坐標系的基i′，j′，k′在舊坐標系中的方向餘弦為(cos α_i，cos β_i，cos γ_i) (i=1，2，3)，即：

=h₁i+h₂j+h₃k，

i′=i cos α₁+j cos β₁+k cos γ₁，

j′=i cos α₂+j cos β₂+k cos γ₂，

k′=i cos α₃+j cos β₃+k cos γ₃.

將(cos α_i，cos β_i，cos γ_i)改記為(c_1ic_2ic_3i) (i=1，2，3)，則由得

這就是空間直角坐標變換公式。其中的9個係數c_ij並不互相獨立，由於i，j，k和i′，j′，k′都是由互相正交的單位向量組成的標準正交基，方向餘弦c_ij滿足下列6個正交條件：

對應的係數矩陣(c_ij)是正交矩陣，即(c_ij)^T(c_ij)=I.特別地，當(c_ij)=I，即坐標變換公式為

此式稱為坐標軸的平移公式，簡稱移軸公式。而當(h₁，h₂，h₃)=(0，0，0)時，則坐標變換公式為

即

此式稱為坐標軸的旋轉公式，簡稱轉軸公式。因新、舊坐標系皆為右手系，故det(c_ij)=1。