輻角原理又稱柯西輻角原理，是複變函數中的一個重要原理，即沿著閉曲線C正向繞行一周后輻角argf(z)的改變數除以2π等於f(z)在C的內部的零點和極點個數的差值。輻角原理可用於求解複變函數的零點或極點個數，也可用於求解方程f(z)=a的根的個數。在自動控制理論中，輻角原理作為奈奎斯特穩定判據的理論基礎，用於判斷單變數系統的穩定性。
基本介紹
- 中文名：輻角原理
- 外文名：Argument Principle
- 別稱：柯西輻角原理
- 所屬學科：複變函數
- 套用1：求解複變函數的零點或極點個數
- 套用2：求解方程f(z)=a的根的個數
- 套用3：奈奎斯特穩定判據的理論基礎
對數留數,定義,證明,套用,
對數留數
積分
的值稱為複變函數
的對數留數。
設C是一條閉曲線，若 符合條件：
1） 在C內部除可能的極點外解析，即 為亞純函式；
2） 在C上解析且不為零，則有
其中
與
分別表示
在C的內部的零點和極點的個數（一個n級零點算作n個零點，而一個m級極點算作m個極點）。
定義
設複變函數
，當複平面Z上的z點沿閉曲線C的正向（逆時針）繞行一周時（如右圖a），複平面W上的
點就相應地畫出一條連續閉曲線Γ（如右圖b）。
根據複變函數對數的定義，有
由右圖以及上式可歸納出：
1）當Γ是一條包含原點的簡單閉曲線時， 點沿Γ繞行一周，上式右端第1項的量沒有變化，而第2項的量改變了
（逆時針繞行取正，順時針取負）；
2）當Γ曲線內不包含原點時，上式右端兩項的改變數均為零。
設C是一條閉曲線，定義
為z沿著曲線C的正向繞行一周后
的改變數。
由此可得輻角原理如下：
設D是閉曲線C所圍成的區域，若（1）
在D內除可能的極點外解析，即為亞純函式；（2） 在C上解析且不為零，則
證明
由牛頓-萊布尼茨公式可知：
再由
可知
得證。
套用
1）用於求解複變函數的零點或極點個數
2）用於求解方程
的根的個數
3）在自動控制中，作為奈奎斯特穩定判據的理論基礎（奈奎斯特穩定判據用於分析單變數系統的穩定性）
