超幾何函式

在數學中，高斯超幾何函式或普通超幾何函式2F1(a,b;c;z)是一個用超幾何級數定義的函式，很多特殊函式都是它的特例或極限。

所有具有三個正則奇點的二階線性常微分方程的解都可以用超幾何函式表示。

基本介紹

• 中文名：超幾何函式
• 外文名：hypergeometric functions
• 套用學科：數學
• 相關術語：超幾何級數
• 表達式：2F1(a,b;c;z)
• 所屬領域：數學

超幾何級數

當 c不是0,-1,-2...時，對於|z|<1，超幾何函式可用如下冪級數定義

其中 是Pochhammer符號，定義為:

當a或b是0或負整數時級數只有有限項。

對於滿足|z|≥1 的複數z，超幾何函式可以通過將上述在單位圓內定義的函式沿著避開支點0和1的任意路徑做解析延拓來得到。

特殊情形

很多普通的數學函式可以用超幾何函式或它的極限表示出來，一些典型的例子如下：

合流超幾何函式（Kummer函式）可以用超幾何函式的極限表示如下

因此，所有合流超幾何函式的特例，例如貝塞爾函式都可以表示成超幾何函式的極限。

勒讓德函式是有3個正則奇點的二階線性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超幾何函式表示，例如

很多多項式，例如賈可比多項式P(α,β)
n及其特殊情形勒讓德多項式，車比雪夫多項式，Gegenbauer多項式都能用超幾何函式表示

其它特殊情形還包括Krawtchouk多項式，Meixner多項式，Meixner–Pollaczek多項式。

橢圓模函式有時能表示成參數a,b,c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超幾何函式之比的反函式。例如，若

則

是τ的橢圓模函式.

不完整的beta函式B_x(p,q) 表示成

完整的橢圓積分K和E如下給出

超幾何方程

超幾何函式滿足的微分方程稱為超幾何方程，其形式為（參見廣義超幾何函式)

展開後，得

它有三個正則奇點：0, 1, ∞.

變換公式

分式線性變換

Pfaff 變換

Pfaff 變換將正則奇點 1 和 ∞ 交換（也就是將李代數參數中的β與μ對換）：

由a,b的對稱性自然有：

Euler 變換

Pfaff 變換可以導出 Euler 變換，它將李代數參數β變成 -β：

Pfaff 變換和 Euler 變換都是分式線性變換的例子，這得名於等式兩邊的超幾何函式的宗量的聯繫，參見莫比烏斯變換。

將上面提到的四個連線關係與 Pfaff 變換及 Euler 變換組合起來，就得到完整的 Kummer 表。

給定一組李代數參數(α,β,μ)，(±α,±β,±μ) 及其輪換對應著 24 個不同但彼此關聯的超幾何函式（F_α,β,μ恆等於F_α,β,-μ），利用前面提到的四個連線關係和 Pfaff 變換，它們中的任意一個可以通過任意另外兩個表出。

例如 Euler 變換可以表示為：

二次變換

下面是一個二次變換的例子：

二次變換得名於等號兩邊超幾何函式宗量的聯繫（一個二次函式和一個莫比烏斯變換的組合）。

三次高次變換

若一組李代數參數滿足下列條件：有兩個是 ±1/3，或者三個參數的絕對值相等，則有一個三次變換的公式將它與另一個超幾何函式聯繫起來。

另外有一些 4 次和 6 次變換的公式。其它次數的變換公式只有當參數取特定有理數值時存在。