默比烏斯變換(莫比烏斯變換)

默比烏斯變換

莫比烏斯變換一般指本詞條

默比烏斯變換(Mobius transformation),也稱莫比烏斯變換,是數論中的一種重要變換。默比烏斯變換是以數學家奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯命名的, 它也被叫做homographic transformations 或 fractional linear transformations。每個莫比烏斯變換都是從黎曼球面到它自身的一一對應共形變換

基本介紹

  • 中文名:默比烏斯變換
  • 外文名:Mobius transformation;homographic transformations
  • 所屬領域:數理科學
  • 別稱:默氏變換
  • 人物:奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯
簡介,1)複平面中的默比烏斯變換,2)數論中的默比烏斯變換,定義,分解,性質,1.保角性與保圓性,2.複比不變性,3.確定默比烏斯變換,矩陣表示,

簡介

1)複平面中的默比烏斯變換

公元1858年,德國數學家默比烏斯(Mobius,1790~1868)發現:把一個扭轉180°後再兩頭粘接起來的紙條,具有魔術般的性質。因為,普通紙帶具有兩個面(即雙側曲面),一個正面,一個反面,兩個面可以塗成不同的顏色;而這樣的紙帶只有一個面(即單側曲面),一隻小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣!這種由莫比烏斯發現的神奇的單面紙帶,稱為"莫比烏斯帶"。明尼蘇達大學的研究人員道格拉斯·阿諾德和喬納珊·羅格尼斯製作的錄像對"莫比烏斯變換"這一深奧而有趣的現象進行了深入淺出的描述。
莫比烏斯變換是定義在擴充複平面上的(擴充複平面是指在普通的複平面加入無窮遠點構成的集合)
擴充複平面可以看做是一個球面,它的另一個名稱就是黎曼球面。每個莫比烏斯變換都是從黎曼球面到它自身的一一對應共形變換。事實上,所有這樣的變換都是莫比烏斯變換。
所有莫比烏斯變換的集合在函式複合作用下構成一個群,稱為“莫比烏斯群”,記作
。這個群是黎曼球面(作為一個黎曼曲面)的自同構群,因此有時也被記作:
莫比烏斯群同構於三維雙曲空間中的保向等距同構群,因此在三維雙曲空間中的子流形的研究中占有重要地位。

2)數論中的默比烏斯變換

對於給定的數論函式
,
,定義新的數論函式:
的默比烏斯變換,而
的默比烏斯逆變換。

定義

幾何學里,比烏斯變換是一類從黎曼球面映射到自身的函式。用擴展複平面上的複數表示的話,其形式為:
其中z,a,b,c,d為滿足adbc≠ 0的(擴展)複數
(當ad=bc的時候這個表達式退化成一個常數,通常約定常數函式不是默比烏斯變換)。
c≠0 時,定義
這樣便將默比烏斯變換擴展到整個黎曼球面上。
如果c=0,那么定義
這樣定義後,默比烏斯變換就成為了黎曼球面上的一個一一對應的全純函式
由於對默比烏斯變換的每一個係數乘上一個相同的係數
後不會改變這個變換:
所以也有的定義中將adbc≠ 0 的條件改成adbc= 1。這樣的定義下得到的默比烏斯變換可以說是“約簡後”的默比烏斯變換。
默比烏斯變換也可以被分解為以下幾個變換:把平面射影到球面上,把球體進行旋轉、位移等任何變換,然後把它射影回平面上。 默比烏斯變換是以數學家奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯的名字命名的,它也被叫做單應變換(homographic transformation)或分式線性變換(linear fractional transformation)。

分解

默比烏斯變換的實質與反演密切相關。實際上,一個形如
的默比烏斯變換可以分解成四個變換:
1)
(按d/c平移變換);
2)
(關於單位圓反演變換然後關於實數軸做鏡面反射);
3)
做關於原點位似變換然後做旋轉);
4)
(按a/c平移變換)。
這四個變換的複合就是默比烏斯變換:
在這種分解之下,可以清楚地看出默比烏斯變換的不少基本性質。
首先,由於以上分解中的每個變換都是可逆的(它們的逆變換也十分清楚),因此可以容易地看出,默比烏斯變換的逆變換也是一個默比烏斯變換,而且其表達式可以具體計算。
具體來說,設變換函式
,其中每一個
都是相應的
的逆變換(反函式),
那么默比烏斯變換f的逆變換就是:

性質

1.保角性與保圓性

由於默比烏斯變換可以分解為平移反演位似旋轉變換,因此能夠保持所有反演變換的性質。一個基本的例子是保角性:由於平移、反演、位似與旋轉變換都保持角度不變,因此兩個複數(或向量)之間的幅角差(夾角)在經過莫比烏斯變換後不變。
此外,一個廣義圓經過默比烏斯變換後,仍會映射到一個廣義圓。廣義圓是指黎曼球面上的圓,包括普通的圓形和帶無窮遠點的直線(可以認為是一個半徑無限大的圓)。這也是反演保持廣義圓的結果。當然默比烏斯變換並不是將圓映射到圓,將直線映射到直線,經過映射後直線可能變成圓,圓也可能變成直線。

2.複比不變性

默比烏斯變換也可以保持複數的複比不變。設有四個兩兩不同的複數
,對應擴充複平面上四個不同的點,它們經過默比烏斯變換後變成
四點,那么複比:
中有一個或多個是無窮大時,複比就定義為相應逼近的極限。比如說當四個複數是
時,複比就是:

3.確定默比烏斯變換

給定平面上三個不同點
,存在著唯一的一個默比烏斯變換
,使得
分別等於
。這個默比烏斯變換就是:
而由於對於另外的三個不同點
,也唯一存在一個默比烏斯變換
,使得
分別等於
。因此,對於任意一組出發點
,任意一組到達點
,都唯一存在一個默比烏斯變換,將
分別映射到點
。具體地說,這個變換就是
。作為推論,如果一個默比烏斯變換有三個不動點,那么它是恆等變換

矩陣表示

默比烏斯變換構成的默比烏斯群
和由二階復可逆矩陣所構成的二階復係數一般線性群
同態的關係。事實上,考慮一個二階的可逆矩陣:
,其中
,那么由矩陣的係數
可以寫出一個默比烏斯變換:
而如果考慮映射:
則經過計算可以知道,
,也就是說:
因此
是一個群同態
注意
對所有的複數
,所以變換
。因此,可以將起始空間由一般線性群縮小到特殊線性群
。而由於有且僅有單位矩陣
和負單位矩陣
群同態
下對應的默比烏斯變換是恆等變換,所以
。根據群同態基本定理,有以下群同構關係:
其中
為複平面上的射影特殊線性群

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