赫爾德不等式

赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自奧圖·赫爾德(Otto Hölder）。這是一條揭示Lp空間相互關係的基本不等式。赫爾德不等式有許多證明，主要的想法是楊氏不等式。

基本介紹

• 中文名：赫爾德不等式
• 外文名：Hölder inequality
• 類別：不等式
• 學科：數學
• 創建者：赫爾德
• 表現形式：離散形式和積分形式

離散的不等式

定義

設 ， 。令 和 是非負實數。那么

成立條件

僅當{ 中至少有一個為零數列或者 ，且 ,使得 ,

證明：記,則式子

即

因為f(x)=lnx(x>0)是向上凸函式（因為),由加權Jensen不等式，可得

所以

把上式對i到m求和 得：

從而命題得證。

連續的不等式

假設 ， 。如果 ， ，那么

離散形式

(有限和和無窮和)

內容

設 或 為實數或複數列，a叫做多重指標，令

滿足條件的p,q稱為共軛指數，q=1是規定p=∞,

若1≤p≤∞，則

若0<p<1,則不等號反向。

成立條件

1<p<∞時， ,且 成立

積分形式

內容

設p、q為共軛指數，令

若

當 時， ,且

即 , …………………… ①

………… …………②

若0<p<1,則不等號方向改變

成立條件

時，僅當 ,使得 和 在E上幾乎處處成立時①式成立

p=1時，僅當 ，使得 a.e.(almost everywhere)於E，且 時， ②式成立

證明

如果||f||_p= 0，那么f在μ-幾乎處處為零，且乘積fg在μ-幾乎處處為零，因此赫爾德不等式的左端為零。如果||g||_q=0也是這樣。因此，我們可以假設||f||_p>0且||g||_q>0。

如果||f||_p= ∞或||g||_q=∞，那么不等式的右端為無窮大。因此，我們可以假設||f||_p和||g||_q位於(0,∞)內。

如果p= ∞且q= 1，那么幾乎處處有|fg| ≤ ||f||_∞|g|，不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。對於p=1和q=∞，情況也類似。因此，我們還可以假設p,q∈ (1,∞)。

分別用f和g除||f||_p||g||_q，我們可以假設：

我們現在使用楊氏不等式：

對於所有非負的a和b，若且唯若時 等式成立。

因此：

兩邊積分，得：.

這便證明了赫爾德不等式。

在p∈ (1,∞)和||f||_p= ||g||_q= 1的假設下，等式成立若且唯若幾乎處處有 。更一般地，如果||f||_p和||g||_q位於(0,∞)內，那么赫爾德不等式變為等式，若且唯若存在α,β>0（即α= ||g||_q且β= ||f||_p），使得： μ-幾乎處處(*)

||f||_p= 0的情況對應於(*)中的β=0。||g||_q=的情況對應於(*)中的α=0。