廣義費馬定理

簡介

廣義費馬定理是費馬定理的一種推廣。設p為素數，φ(x)為n次不可約多項式mod p，則對任何一個非φ(x)之倍式的多項式f(x)，mod p，恆有

對任一多項式常有

特別有

，此即稱為廣義費馬定理，實則把費馬小定理從整數範圍推廣到整係數多項式的集合中而得到。

廣義費馬定理有下述推論：

1.任何一個n次不可約多項式必能整除

。此性質可由廣義費馬定理直接推出。

2.重模方程

之根數不超過f(x)的次數，這裡f(x)表整係數多項式。

3.

不能被一個次數高於n次的不可約多項式所整除mod p。

4.若Ψ(x)為一個l次不可約多項式，mod p，且

，則l|n。

費馬小定理是數論中的一個重要定理，1636年提出.

費馬小定理的內容為：假如p是質數，且gcd(a,p)=1，那么a^p-1≡1(mod p)，例如：假如a是整數，p是質數，則a,p顯然互質（即兩者只有一個公約數1），那么我們可以得到費馬小定理的一個特例，即p為質數時，a^p-1≡1(mod p)。

費馬小定理是初等數論四大定理（威爾遜定理，歐拉定理（數論中的歐拉定理），中國剩餘定理（又稱孫子定理）之一，在初等數論中有著非常廣泛和重要的套用。實際上，它是歐拉定理的一個特殊情況（即

）。