Ribet定理

Herbrand-Ribet定理是某些數字域的類群的結果。 這是對恩斯特庫默爾定理的強化，即若且唯若p除以第n個伯努利數Bn的分子為n時，素數p除以單位第p個根的分圓場的類數，0 <n <p-1. Herbrand-Ribet定理特別指出當p除以這樣的Bn時它意味著什麼。

基本介紹

• 中文名：Ribet定理
• 外文名：Ribet theorem
• 本質：對恩斯特庫默爾定理的強化

聲明

奇數素數的單位pth根的分圓場的伽羅瓦群，ζ= 1的由族元素組成，其中。 作為費馬小定理的結果，在-adic整數的環中，我們有個統一的根，每個都是1到範圍內的某個數的全等模; 因此，我們可以通過要求對於n的相對素數來定義具有值的Dirichlet字元，與 modulo 一致。 類組的部分是，因此組環上的模組 []。 我們為從1到的每個定義組環的冪等元素，如

很容易看出,.

Herbrand-Ribet定理指出，對於奇數，若且唯若除以伯努利數時，才是非平凡的。

該定理沒有對的偶數值進行斷言，但是沒有已知的對於任何偶數而言是非平凡的：所有的平凡性都是Vandiver猜想的結果。

證明

如果Gn不是微不足道的話，說p除以Bp-n的部分歸因於Jacques Herbrand。反過來說，如果p除以Bp-n那么Gn並不是微不足道的，這要歸功於Kenneth Ribet，並且要困難得多。 通過類場理論，只有在p的循環擴展中存在p的單根的一個未經擴展的擴展時才能成立，這在p的作用下以指定的方式表現; Ribet通過使用模組化形式理論中的方法實際構建這樣的擴展來證明這一點。 在華盛頓的書中可以找到Ribet與Herbrand定理相反的更基本的證據，這是歐拉系統理論的結果。

推廣

為了證明Iwasawa理論的主要猜想，Barry Mazur和Andrew Wiles進一步推動了Ribet的方法，其中一個推論是Herbrand-Ribet定理的強化：p分割Bp-n的力量恰好是 p的冪除以Gn的階數。