棣莫弗定理

棣莫弗定理

棣莫弗定理由法國數學家棣莫弗(1667-1754年)創立。指的是設兩個複數(用三角函式形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1),Z2=r2(cosθ2+isinθ2),則:Z1Z2=r1r2[cos(θ12)+isin(θ12)]。

棣莫弗定理與瑞士數學家歐拉提出的歐拉公式之間有重要聯繫。

基本介紹

  • 中文名:棣莫弗定理
  • 外文名:De Moivre's formula
  • 表達式:Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
  • 提出者棣莫弗
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:複數
  • 相關公式:歐拉公式
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科學原理

設兩個複數(用三角形式表示)
,則:

定理證明

證:先講一下複數的三角形式的概念。在複平面C上,用向量
來表示複數
。於是,該向量可以分成兩個在實軸、虛軸上的分向量。如果向量
與實軸正方向的夾角為
,那么這兩個分向量分別等於
(其中
)。所以,複數Z可以表示為
。這裡θ稱為複數Z的輻角。
其實該定理可以推廣為一般形式。

推廣形式

設n個複數
則:

乘方形式

在一般形式中如果令
,則能導出複數乘方公式:.

乘方形式證明

對n∈Z*,採用數學歸納法證明。
①當n=1時,等式明顯成立
②設當n=k時等式成立,則當n=k+1時
即當n=k+1時等式也成立
綜上,對於任意正整數n,都有

與歐拉公式的聯繫

如果把棣莫弗定理和歐拉(Euler)公式
(參見《泰勒公式》,嚴格的證明需要複分析)放在一起看,則可以用來理解歐拉公式的意義。
利用棣莫弗定理有:
如果可以把所有的複數改寫成指數的形式,即
這和指數的可加性一致。

歐拉簡介

萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler ,1707年4月15日~1783年9月18日),瑞士數學家、自然科學家。1707年4月15日出生於瑞士巴塞爾,1783年9月18日於俄國聖彼得堡去世。歐拉出生於牧師家庭,自幼受父親的影響。13歲時入讀巴塞爾大學,15歲大學畢業,16歲獲得碩士學位。歐拉是18世紀數學界最傑出的人物之一,他不但為數學界作出貢獻,更把整個數學推至物理的領域。他是數學史上最多產的數學家,平均每年寫出八百多頁的論文,還寫了大量的力學分析學幾何學變分法等的課本,《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成為數學界中的經典著作。歐拉對數學的研究如此之廣泛,因此在許多數學的分支中也可經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。此外歐拉還涉及建築學彈道學航海學等領域。瑞士教育與研究國務秘書Charles Kleiber曾表示:“沒有歐拉的眾多科學發現,今天的我們將過著完全不一樣的生活。”法國數學家拉普拉斯則認為:讀讀歐拉,他是所有人的老師。2007年,為慶祝歐拉誕辰300周年,瑞士政府、中國科學院及中國教育部於2007年4月23日下午在北京的中國科學院文獻情報中心共同舉辦紀念活動,回顧歐拉的生平、工作以及對現代生活的影響。

歐拉定理

數學及許多分支中都可以見到很多以歐拉命名的常數、公式和定理。在數論中,歐拉定理(Euler Theorem,也稱費馬-歐拉定理或歐拉函式定理)是一個關於同餘的性質。歐拉定理得名於瑞士數學家萊昂哈德·歐拉,該定理被認為是數學世界中最美妙的定理之一。歐拉定理實際上是費馬小定理的推廣。此外還有平面幾何中的歐拉定理、多面體歐拉定理(在一凸多面體中,頂點數-棱邊數+面數=2)。西方經濟學中歐拉定理又稱為產量分配淨盡定理,指在完全競爭的條件下,假設長期中規模收益不變,則全部產品正好足夠分配給各個要素。

棣莫弗簡介

棣莫弗,A.(De Moivre,Abraham)1667年5月26日生於法國維特里的弗朗索瓦;1754年11月27日卒於英國倫敦.數學家.
棣莫弗出生於法國的一個鄉村醫生之家,其父一生勤儉,以行醫所得勉強維持家人溫飽。棣莫弗自幼接受父親的教育,稍大後進入當地一所天主教學校念書,這所學校宗教氣氛不濃,學生們得以在一種輕鬆、自由的環境中學習,這對他的性格產生了重大影響。隨後,他離開農村,進入色拉的一所清教徒學院繼續求學,這裡卻戒律森嚴,令人窒息,學校要求學生宣誓效忠教會,棣莫弗拒絕服從,於是受到了嚴厲制裁,被罰背誦各種宗教教義。那時,學校不重視數學教育,但棣莫弗常常偷偷地學習數學。在早期所學的數學著作中,他最感興趣的是C.惠更斯(Huygens)關於賭博的著作,特別是惠更斯於1657年出版的《論賭博中的機會》(Deratiociniis in ludo aleae)一書,啟發了他的靈感。

1684年

1684年,棣莫弗來到巴黎,幸運地遇見了法國傑出的數學教育家、熱心傳播數學知識的J.奧扎拉姆(Ozanam)。在奧扎拉姆的鼓勵下,棣莫弗學習了歐幾里得(Euclid)的《幾何原本》(Ele-ments)及其他數學家的一些重要數學著作。

1685年

1685年,棣莫弗與許多信仰新教的教友一道,參加了震驚歐洲的宗教騷亂,在這場騷亂中,他與許多人一起被監禁起來。正是在這一年,保護加爾文教徒的南茲敕令被撤銷。隨後,包括棣莫弗在內的許多有才華的學者由法國移住英國。據教會的材料記載,棣莫弗一直被監禁至1688年才獲釋,並於當年移居倫敦。但據20世紀60年代發現的一份當時的材料,1686年時棣莫弗已經到了英國。隨後,棣莫弗一直生活在英國,他對數學的所有貢獻全是在英國做出的。
抵達倫敦後,棣莫弗立刻發現了許多優秀的科學著作,於是如饑似渴地學習。一個偶然的機會,他讀到I.牛頓(Newton)剛剛出版的《自然哲學的數學原理》(Mathematical principles of natural philosophy),深深地被這部著作吸引了。後來,他曾回憶起自己是如何學習牛頓的這部巨著的:他靠做家庭教師餬口,必須給許多家庭的孩子上課,因此時間很緊,於是就將這部巨著拆開,當他教完一家的孩子後去另一家的路上,趕緊閱讀幾頁,不久便把這部書學完了。這樣,棣莫弗很快就有了充實的學術基礎,並開始進行學術研究。

1692年

1692年,棣莫弗拜會了英國皇家學會秘書E.哈雷(Halley),哈雷將棣莫弗的第一篇數學論文“論牛頓的流數原理”(On New-ton’s doctrine of fluxions)在英國皇家學會上宣讀,引起了學術界的注意。1697年,由於哈雷的努力,棣莫弗當選為英國皇家學會會員。
棣莫弗的天才及成就逐新受到了人們廣泛的關注和尊重。哈雷將棣莫弗的重要著作《機會的學說》(The doctrine of chances)呈送牛頓,牛頓對棣莫弗十分欣賞。據說,後來遇到學生向牛頓請教機率方面的問題時,他就說:“這樣的問題應該去找棣莫弗,他對這些問題的研究比我深入得多”。1710年,棣莫弗被委派參與英國皇家學會調查牛頓-萊布尼茨關於微積分優先權的委員會,可見他很受學術界的尊重。1735年,棣莫弗被選為柏林科學院院士。1754年,又被法國的巴黎科學院接納為會員。
棣莫弗終生未婚。儘管他在學術研究方面頗有成就,但卻貧困潦倒。自到英國倫敦直至晚年,他一直做數學方面的家庭教師。他不時撰寫文章,還參與研究確定保險年金的實際問題,但獲得的收入卻極其微薄,只能勉強餬口。他經常抱怨說,周而復始從一家到另一家給孩子們講課,單調乏味地奔波於僱主之間,純粹是浪費時間。為此,他曾做了許多努力,試圖改變自己的處境,但無濟於事。

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