基本介紹
簡介,定義,討論,套用,各種相關係數,參見,
簡介
定義
已知N組雙變數樣本(Xi,Yi),i=1,...,N，樣本相關係數r為
於是，r的費雪變換可定義為
當 (X,Y) 為二元常態分配且 (Xi,Yi)對相互獨立時，z近似為常態分配。其均值為
標準差為
其中N是樣本大小，ρ 是變數X與Y的總體相關係數。
費雪變換及其逆變換
可以用於構造ρ的置信區間。
討論
當X和Y遵循二元常態分配時，Fisher變換是r的近似方差穩定變換。這意味著對於群體相關係數ρ的所有值，z的方差近似恆定。在沒有Fisher變換的情況下，r的方差隨著|ρ|變小由於Fisher變換大約是| r |時的恆等函式<1/2，有時候有必要記住r的方差很好地接近1 / N，只要|ρ|不是太大，N也不是太小。這與二元正態數據的r的漸近方差為1的事實有關。
自從費希爾於1915年引入這種變換以來，這種變換的行為已經得到了廣泛的研究。費舍爾自己在1921年發現了二元常態分配數據的z的精確分布; 1951年Gayen確定了來自雙變數A型Edgeworth分布的數據的z的精確分布。 1953年霍特林計算了z的矩和泰勒級數表達式以及幾個相關的統計量，而霍金斯在1989年發現了具有有界四階矩的分布數據的z的漸近分布。
套用
雖然Fisher變換主要與雙變數正態觀測的Pearson積矩相關係數有關，但在更一般的情況下，它也可以套用於Spearman秩相關係數。類似結果對於漸近分布適用，但需要較小的調整因子。
各種相關係數
對於不同測量尺度的變數，有不同的相關係數可用：
- Pearson相關係數（Pearson'sr）：衡量兩個等距尺度或等比尺度變數之相關性。是最常見的，也是學習統計學時第一個接觸的相關係數。
- 淨相關（英語：partial correlation）：在模型中有多個自變數（或解釋變數）時，去除掉其他自變數的影響，只衡量特定一個自變數與因變數之間的相關性。自變數和因變數皆為連續變數。
- 相關比（英語：correlation ratio）：衡量兩個連續變數之相關性。
- Gamma相關係數：衡量兩個次序尺度變數之相關性。
- Spearman等級相關係數：衡量兩個次序尺度變數之相關性。
- Kendall等級相關係數（英語：Kendall tau rank correlation coefficient）：衡量兩個人為次序尺度變數（原始資料為等距尺度）之相關性。
- Kendall和諧係數：衡量兩個次序尺度變數之相關性。
- Phi相關係數（英語：Phi coefficient）：衡量兩個真正名目尺度的二分變數之相關性。
- 列聯相關係數（英語：contingency coefficient）：衡量兩個真正名目尺度變數之相關性。
- 四分相關（英語：tetrachoric correlation）：衡量兩個人為名目尺度（原始資料為等距尺度）的二分變數之相關性。
- Kappa一致性係數（英語：K coefficient of agreement）：衡量兩個名目尺度變數之相關性。
- 點二系列相關係數（英語：point-biserial correlation）：X變數是真正名目尺度二分變數。Y變數是連續變數。
- 二系列相關係數（英語：biserial correlation）：X變數是人為名目尺度二分變數。Y變數是連續變數。
