貝葉斯區間估計

貝葉斯區間估計比經典的區間估計更容易處理，因為參數是隨機變數，對給定置信度1－α，利用θ的後驗分布可以較方便地求得θ的置信區間。

基本介紹

• 中文名：貝葉斯區間估計
• 外文名：Bayesian interval estimation
• 所屬學科：數學
• 相關概念：置信度、後驗分布、置信區間等

基本介紹

對於區間估計問題，貝葉斯方法具有處理方便和含義清晰的優點，而經典方法尋求的置信區間常受到批評。當參數的後驗分布獲得以後，立即可計算落在某區間[a,b] 內的後驗機率，譬如，即

反之，若給定機率，要找一個區間[a,b] 使上式成立，這樣求得的區間就是貝葉斯區間估計，又稱為可信區間，這是在為連續型隨機變數場合，若為離散型隨機變數，對給定的機率，滿足上式的區間[a,b] 不一定存在，這時只有略微放大上式左端機率，才能找到a 與b，使得

這樣的區間也是的貝葉斯可信區間。它的一般定義如下：

設參數的後驗分布為，對給定的樣本觀測值x和機率若存在這樣的兩個統計量使得

則稱區間為參數的可信水平為貝葉斯可信區間，或簡稱為的可信區間。而滿足

的稱為的(單側)可信下限。滿足

的稱為的（單側）可信上限。

這裡的可信水平和可信區間與經典統計中的置信水平與置信區間雖是同類的概念，但兩者還有本質差別，主要表現在如下兩點：

1．在條件方法下，對給定的樣本觀測值x和可信水平，通過後驗分布可求得具體的可信區間，譬如，的可信水平為0.9的可信區間是[1.5，2.6]，這時我們可以寫出

還可以說：“屬於這個區間的機率是0.9”或“落入這個區間的機率是0.9”，可對置信區間就不能這么說，因為經典統計認為是常量，它要么在[1.5，2.6]內，要么在此區間之外。此時為一隨機區間，而[1.5，2.6]為此隨機區間的一個觀察值，其頻率解釋為：在大量這種觀察中，得到大量的確定區間，大約有90%的區間包含參數真值。

2．在經典統計中尋求置信區間有時是困難的，因為它要設法構造一個樞軸量，使它的分布不含有未知參數，這是一項技術性很強的工作，不熟悉“抽樣分布”是很難完成的，可尋求可信區間只要利用後驗分布，不需要再去尋求另外的分布，兩種方法相比，可信區間的尋求要簡單得多。

最大後驗密度可信區間

等尾可信區間在實際中常被使用，但不是最理想的，最理想的可信區間應是區間長度最短，這隻要把具有最大後驗密度的點都包含在區間內，而在區間外的點上的後驗密度函式值不超過區間內的後驗密度函式值，這樣的區間稱為最大後驗密度( Highest Posterior Density，簡稱HPD)可信區間，它的一般定義如下：

設參數的後驗密度為，對給定的機率若存在區間，滿足下列條件：

(1) ；

(2)對任給總有。

則稱為的可信水平為的最大後驗密度(HPD)可信區間，簡稱（）HPD可信區間。這個定義僅對後驗密度函式而給的，這是因為當為離散型隨機變數時，HPD可信區間很難實現。