先驗估計是近代研究偏微分方程的一種基本方法和技巧。對偏微分方程定解問題，在解存在的假設下，通過方程係數、自由項及定解條件估計解在某個巴拿赫空間(一般是索伯列夫空間或連續可微函式空間)中的範數的上界的不等式，例子參見“紹德爾估計”、“解的Lp估計”。利用先驗估計來探討偏微分方程定解問題解的存在、惟一及光滑等性質是近代偏微分方程研究的一個重要方法。
基本介紹
- 中文名：先驗估計
- 外文名：priori estimation
- 領域：數學
- 性質：研究偏微分方程的方法
- 空間：巴拿赫空間
- 實例：紹德爾估計
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概念
先驗估計是近代研究偏微分方程的一種基本方法和技巧。對偏微分方程定解問題，在解存在的假設下，通過方程係數、自由項及定解條件估計解在某個巴拿赫空間(一般是索伯列夫空間或連續可微函式空間)中的範數的上界的不等式，例子參見“紹德爾估計”、“解的Lp估計”。
偏微分方程
包含未知函式的偏導數(或偏微分)的方程。
方程中所出現未知函式偏導數的最高階數，稱為該方程的階。
在數學、物理及工程技術中套用最廣泛的，是二階偏微分方程，習慣上把這些方程稱為數學物理方程。
由若干個偏微分方程所構成的等式組就稱為偏微分方程組，其未知函式也可以是若干個。當方程的個數超過未知函式的個數時，就稱這偏微分方程組為超定的；當方程的個數少於未知函式的個數時，就稱為欠定的。
如果一個偏微分方程（組）關於所有的未知函式及其導數都是線性的，則稱為線性偏微分方程（組）。否則，稱為非線性偏微分方程（組）。在非線性偏微分方程（組）中，如果對未知函式的最高階導數來說是線性的，那么就稱為擬線性偏微分方程（組）。
設Ω是自變數空間R中一個區域，u是在這個區域上定義的具|α|階連續導數的函式。如果它能使方程(2)在Ω上恆等成立，那么就稱u是該方程在Ω中的一個經典意義下的解，簡稱為經典解。在不致誤會的情況下，就稱為解。
偏微分方程理論研究一個方程（組）是否有滿足某些補充條件的解（解的存在性），有多少個解（解的惟一性或自由度），解的各種性質以及求解方法等等，並且還要儘可能地用偏微分方程來解釋和預見自然現象以及把它用之於各門科學和工程技術。偏微分方程理論的形成和發展都與物理學和其他自然科學的發展密切相關，並彼此促進和推動。其他數學分支，如分析學、幾何學、代數學、拓撲學等理論的發展也都給予偏微分方程以深刻的影響。
在科學技術日新月異的發展過程中，人們研究的許多問題用一個自變數的函式來描述已經顯得不夠了，不少問題有多個變數的函式來描述。
比如，從物理角度來說，物理量有不同的性質，溫度、密度等是用數值來描述的叫做純量；速度、電場的引力等，不僅在數值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點上的張力狀態的描述出的量叫做張量，等等。這些量不僅和時間有關係，而且和空間坐標也有聯繫，這就要用多個變數的函式來表示。
應該指出，對於所有可能的物理現象用某些多個變數的函式表示，只能是理想化的，如介質的密度，實際上“在一點”的密度是不存在的。而我們把在一點的密度看作是物質的質量和體積的比當體積無限縮小的時候的極限，這就是理想化的。介質的溫度也是這樣。這樣就產生了研究某些物理現象的理想了的多個變數的函式方程，這種方程就是偏微分方程。
巴拿赫空間
巴拿赫空間有兩種常見的類型：“實巴拿赫空間”及“復巴拿赫空間”，分別是指將巴拿赫空間的向量空間定義於由實數或複數組成的域之上。
許多在數學分析中學到的無限維函式空間都是巴拿赫空間，包括由連續函式（緊緻赫斯多夫空間上的連續函式）組成的空間、由勒貝格可積函式組成的Lp空間及由全純函式組成的哈代空間。上述空間是拓撲向量空間中最常見的類型，這些空間的拓撲都自來其範數。
估計
根據觀測值來推測 母體參數的值或範圍的過程稱為估計。估計分為點估計和區間估計。點估計，是根據觀測值估計出對母體 參數θ的估計值T(X1，X2，…… Xn) 的過程。例如，在進行燈泡壽命測定時，根據幾個燈泡壽命 來推測一批燈泡壽命的過程，就 為點估計。其過程是： 先抽取若 幹個燈泡做樣本來測取壽命值 (以小時為單位) ，樣本的壽命分別是X1，X2，……Xn，求出 平均值X=X1+X2+……Xn/n和方差：
點估計又稱定值估計，是指直接用樣本平均數或樣本成數代替總體平均數或成數，而不考慮誤差的一種估計方法。例如，對100名大學生進行收視率調查，調查結果是30%每天收看電視新聞，從而推斷，在全體大學生中30%每天收看電視新聞。
一般說來，用抽樣指標估計總體指標，總會存在一定差異，但如果滿足下面三個要求，就可認為是合理估計或優良估計。一、無偏性。用抽樣指標估計總體指標時，個別樣本指標與總體指標間會有偏差，而用很多樣本指標的平均值估計總體指標，平均說來是無偏差的。二、一致性。用抽樣指標估計總體指標，當樣本單位數充分大時，抽樣指標將充分接近總體指標。三、有效性。用抽樣平均數和總體某一變數來估計總體平均數時，雖然兩者都是無偏估計量，但樣本平均數更靠近總體平均數，平均說來，它的離差較小，因此，是更優良的估計量。
區間估計是根據樣本指標和抽樣誤差推斷總體指標落在某一區間範圍內的方法。它的數學定義是：設T1(X1， …，Xn)，T2 (X1， …，Xn)為兩個統計量，若P {T1(X1，…，Xn)≤θ≤T2 (X1，…，Xn)} = 1-α成立，則稱〔T1，T2〕為θ的區間估計，T1稱為置信下限，T2稱為置信上限，1-α稱為置信度， 〔T1，T2〕稱為置信區間。α越小，1-α就越大， 區間[T1，T2]的距離就越大，θ落在[T1，T2]之間的機率也就越大;反之越小。α的值直接影響著區間估計的置信區間和置信度，α的值太小，估計區間太大，區間估計就失去了意義。α的值過大，估計區間過小，θ落在[T1，T2]之間的機率就越小，區間估計的置信度下降。通常對於給定的1-α， [T1，T2]有多種取法，因此， “最好”的置信區間應該是：在給定的較大的置信度1-α下(通常取1-α=0. 95)，使[T1，T2]距離最小的區間估計是最好的區間估計。
紹德爾估計
紹德爾估計(Schauder estimates)是指對帶赫爾德連續係數的二階線性橢圓型方程的C^(2,\alpha)範數的估計。
在數學中，紹德爾估計是由紹德爾（1934-1937年）提出的關於線性，均勻橢圓偏微分方程的解的規律性的結果的集合。估計說，當方程具有適當的平滑項和適當平滑的解時，則可以根據係數和源項的霍爾規範來控制解的霍爾規範。由於這些估計假定存在解，所以稱為先驗估計。
內部結果都是內部結果，在邊界內部的解決方案中給出了Hölder條件，並提供了邊界結果，為整個領域的解決方案提供了霍爾條件。前者的界限僅取決於空間維度，方程和與邊界的距離；後者也取決於邊界的平滑度。
紹德爾估計是使用連續性方法來證明橢圓型PDE的狄利克雷問題的解決方案的存在和規律性的必要先決條件。該結果表明，當方程的係數和邊界條件的性質足夠平滑時，PDE有一個平滑的經典解。
