變值函式

一種擴展的新型數學函式。函式是數學中最難的，套用廣泛

引 言

為便於區別和套用，可將箱變坐標系和變值坐標系中表示變值坐標的對應函式叫變值函式，表示基值坐標的對應函式叫基值函式，相應地可把表示等值坐標的對應函式叫等值函式。三種函式各具優勢並可通過變值係數的作用實現相互變換。其中，等值函式可視為變值函式和基值函式的一種特例（即變值係數恆為1），因此，後者是對前者的繼承和擴展。通常三種函式的自變數取值多採用基值坐標，其中，等值函式的基值坐標與變值坐標完全相同。變值函式和變值坐標系是變值方法的兩大基礎。

作為數學函式，其基本問題應當有二，即函式的求法和算法。這裡求法是基礎，算法是關鍵。由於變值函式和基值函式是對等值函式的繼承和擴展，因此，只要熟悉後者的有關求法和算法並對前者的有關思路和方法有所了解，則對其掌握和運用將並非難事，但應注意兩者的異同。由於基值函式的求法和算法與常規的等值函式基本相同，故下面重點說明變值函式。

變值函式的基本求法

正箱坐標系和斜箱坐標系均可用於求得變值函式。一般來說，變值函式的基本求法可有如下三種。

1.1、直接推導法：

本法是指通過適當的數學推導直接求出變值函式的方法。其基本做法是：首先是通過改變坐標單位使所求函式自變數的對應範圍或空間內的同名坐標單位數各自處處對應相等，相當於把密度均勻的基箱體變為密度不勻的方箱體，並將箱變坐標系的變值坐標單位數視為等值坐標系的等值坐標，然後運用常規數學方法（包括現有的各種函式求法）求之即可。其中，一元時對應於基箱面，通常只需改變寬距或長距單位，有時需要改變高距單位；二元時對應於基箱體，通常只需改變寬距和長距單位，有時需要改變寬距和高距或長距和高距單位；三元時仍對應於與基箱體，需要同時改變長距、寬距和高距單位。如前述的二元扭面方程便是將基箱體通過改變縱、橫坐標單位而變為相應方箱體後採用常規數學方法而得。其中，線性扭面方程為四項，由此可知，當變質係數一定時，線性扭面可由四點確定。

1.2、基值係數法：

本法是由基值函式與對應變值係數複合而得變值函式的方法。其中，變值係數通常是在建立坐標系時即已確定（見前述變值係數的求法）；基值函式的求法與等值函式相同，其基本求法是：首先將基值坐標視為等值坐標，然後運用常規數學方法（包括現有的各種數學方法）按照等值函式的相應方法求之即可。當基值函式為顯函式時，則將其對應的變值係數與其等式右邊相乘即可（自變數仍為基值變數），此時，等式左邊的基值變數隨之變為同名的變值變數，所得函式值對應於變值坐標；而隱函式的具體求法尚待進一步探討和驗證。當變值係數的確定比較合理時，其基值函式通常均較簡單，這裡需要搞清函式（因變數）與自變數、各變數與變值係數的相互對應。如前述正箱體的高距函式也可採用基高或高距變數×高距係數而得，這裡的高距和高距變數對應於基值函式。

1.3、變換係數法：

本法是指通過變換坐標係數將原有變值函式變為新的變值函式的方法。本法還可用於等值函式與變值函式、變值函式與基值函式、不同的基值函式之間的相互變換等。當變換後的函式項（因變數）的變值係數（新變係數）為1時，則得到變值函式（此時，若坐標系隨之而變，則變為等值坐標系和等值函式）；若函式項的新變係數不為1，則得到相應變值坐標系的基值函式。在進行變換時，可先求出變換係數，即原變值係數（原變係數）與新變係數之比，然後將變換係數作為變值係數採用基值係數法便可求出相應的變值函式或基值函式。本法常用於改變函式圖象或變換研究層次或方式等，如果變換係數選擇適當（如為原有函式的整除因式），則可得到較為簡單的新的基值函式表達式，若同時變換坐標系，則可得到較為簡單的新的函式圖象。如箱面和箱體的高距變值函式除以其自身的高距係數後可得簡單的基值函式。

在以上三種求法中，直接推導法的實質屬於常規方法，其它兩種求法為變值函式所特有，但當變值係數全為1時則同樣屬於常規方法。由上述求法可知，隨著變值係數的不同，同一圖象可有不同函式，同一函式也可有不同圖象，從而體現了函式與圖象的動態對應和因果之間的動態關係等。

變值函式基本性質

由於變值函式與基值函式同源共生，而等值函式只是變值函式和基值函式的一種特例，故三種函式具有本質上的同一性。在不同函式之間進行運算時，不僅要考慮對應基距是否相同，還應考慮對應變值係數是否相同。按照基距和變值係數是否各自對應相同，可將不同變值函式獨立分為同基、異基和同系、異系，二者組合 可得同基同系、同基異系、異基同系和異基異系四種（接左下圖）。

上述性質與分數的基本性質相類似，其中的自變數和基距相當於分數的分子和分母。據此性質便可對變值函式適當進行恆等變換（此即變基運算），從而使其某些異基運算得以實現。但應注意，這裡的自變數和基距的取值均為坐標單位數，在數值上等於基值坐標，其擴大倍數與基值單位和變值係數的擴大倍數互為倒數。

變值函式的變基運算與通基變換

3.1、變基運算：

變基運算是指改變基值單位或基箱體的基距時對變值函式進行恆等變換的一種運算。由變值函式的基本性質可知，當自變數取值和基距數值同時擴大或縮小TX 倍時其值不變。這裡的TX可叫變基係數，通常為一非0常數，據此便可進行變基運算。在變基運算時，既可採用同時擴大，也可採用同時縮小，二者的變基係數互為倒數。若同時擴大，則變基係數=新基距/原基距=原基值單位/新基值單位=原變值係數/新變值係數；若同時縮小，則變基係數為同時擴大時的倒數（常用於通基變換）。變基運算常採用同時擴大（也可採用同時縮小），現以一元和二元為例簡述之（接左下二圖）。另當變值函式為多元時，其變基運算可仿二元變基運算進行。

3.2、通基變換：

上述變基運算適用於單個變值函式，當為多個不同基距的變值函式（即異基函式）時，若要對其同名自變數在各自基距範圍內進行同值同步運算（如對應於有限空間的加減或合併運算等），則應使之變為相同基距的變值函式（即同基函式），這便是通基變換。否則將無法對異基函式的同一自變數進行同值同步運算。通基變換常採用自變數與其基距同時縮小之法（也可採用同時擴大之法）。在通基變換時，需要已知原基距和通基後的統一基距。其中，統一基距常可根據需要進行適當設定（接下面二圖）。