積分上限函式(變上限積分)

積分上限函式

變上限積分一般指本詞條

設函式y=f(x) 在區間[a,b]上可積,對任意x∈[a,b],y=f(x)在[a,x] 上可積,且它的值與x構成一種對應關係(如概述中的圖片所示),稱Φ(x)為變上限的定積分函式,簡稱積分上限函式

基本介紹

  • 中文名:積分上限函式
  • 外文名:Cumulative area function
定義,定理,

定義

設函式f(x)在區間[a,b]上可積,且對任意
在[a,x]上也可積,稱變上限定積分
的積分上限函式,記為
時,
在幾何上表示為右側鄰邊可以變動的曲邊梯形的面積(圖1中的陰影部分)。
圖1圖1

定理

設函式
在區間[a,b]上連續,則積分上限函式
在[a,b]上可導,並且
證明: 對於任意給定的
給x以增量
使得
的定義及定積分對區間的可加性,有
再由定積分中值定理,得
其中,
之間。
從而
的連續性,得
根據導數定義,得
證畢。
這個定理說明,任何連續函式都有原函式存在,且積分上限函式
就是
在[a,b] 上的一個原函式。上述定理也叫做原函式存在定理

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