調和共軛

調和共軛

當共線四點的交比B(y,s;u,v)=-1時,稱v是y、s和u的第四調和點,y、s、u、v稱為調和點列,又稱u、v調和分割y和s,或u、v和y、s調和共軛,如果平面上過一點的四條直線η、ζ、φ、ψ的交比等於一1,也稱φ、ψ和η、ζ是調和共軛的。

基本介紹

  • 中文名:調和共扼
  • 外文名:harmonic range of points
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:高等幾何(射影幾何)
  • 相關概念:射影幾何、交比等
定義,交比,相關定理,

定義

調和共扼是高等幾何中的一個重要概念,它既能體現點與點,線與線,點與線之間的一些特殊位置關係,又能對歐氏幾何中的一些概念和性質作出射影解釋,進而理順歐氏幾何射影幾何間的某些關係。射影幾何中的調和共扼是通過交比值來定義的。
調和點列(harmonic range of points)是射影幾何的基本概念之一,即射影直線上交比等於-1的四個點,交比
時,稱點偶P3,P4 調和分離點偶P1,P2;或稱點偶P1,P2與點偶P3,P4調和共軛;並稱P1,P2,P3,P4四點為調和共軛點;也稱P4為P1,P2,P3的第四調和點.交比-1稱為調和比,若P1P2是普通線段,則也稱P3,P4兩點把線段P1P2調和分割。點偶調和分離(或點偶調和共軛)的關係是相互的,即與點偶的順序無關。當(P1P2,P3P4)=-1時,可求得由這四點構成的其他交比的值為2或1/2,並且當四點構成的交比值為2或1/2時,可以適當改變點的順序,使其中兩點與其他兩點調和共軛。

交比

交比是射影變換的基本不變數,它和高等幾何的各部分內容密切相關。調和比是特殊的交比,它不僅具有交比的一切性質,又具有自己獨特的特點和作用。當(AB,CD)=-1 時,稱 C、D 調和分割 A、B,或點偶 C、D 與點偶 A、B 成調和共軛,D稱為 A、B、C 的第四調和點。這裡,A、B、C、D 是互異的實點,在調和共軛中,兩對對應點的關係是完全對等的。由對偶原理知,運用交比和調和共軛的概念和有關性質,可以比較簡便地解決一些初等幾何和複變函數、偏微分方程方面的問題。
交比(cross ratio)又稱“複比”,如果
是直線上的四個不同點,且
稱為這四點在這順序下的交比。對偶地,如果
是射影平面上共點的四條不同直線,且
稱為這四直線在這順序下的交比,四個共線點或四條共點直線的交比在射影變換之下是不變的。

相關定理

定理1 共線四點交比取
的充要條件是四點有兩點重合。
定理2 共線的不同四點所成的六組交比中,有相同值的充 要條件是此四點能配成調和共軛。

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