基本介紹
- 中文名：和角公式
- 別稱：三角函式的加法定理
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：三角函式以及物理運動學分析
- 口訣：正余同餘正，余余反正正
三角函式和角公式,證明,適用範圍,
三角函式和角公式
一般的最常用公式有:
正弦餘弦記憶口訣：正余同餘正，余余反正正。
五個字代表右邊的公式，“同”和“反”則表明中間的符號與左邊是否一樣；其中第一個字也代表是餘弦公式還是正弦公式。
證明
法一：向量證明
在平面直角坐標系中，以x軸為始邊，作角α，角β，分別記其終邊單位向量為a, b，則a=(cosα, sinα), b=(cosβ, sinβ)
∵a·b=|a||b|cos<a,b>
且a·b=cosα·cosβ+sinα·sinβ
且|a|=|b|=1
∴cos<a,b>=cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
用-β代替β，得cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
由誘導公式6，得sin(α-β)=-cos[(α-β)+π/2]=-cos[(α+π/2)-β]
=-[cos(α+π/2)·cosβ+sin(α+π/2)·sinβ]
=-[-sinα·cosβ+cosα·sinβ]
=sinα·cosβ-cosα·sinβ
同理得 sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
又tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β) = (sinα·cosβ-cosα·sinβ)/(cosα·cosβ+sinα·sinβ)
同除cosα·cosβ,得tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
同理，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
證畢
法二：幾何證明
下圖α，β標識有誤，建議放大觀看。其中∠AOB應為α，∠AOP應為β。
cos(α-β)=OM
=OB+CP
=|OA|cosα+|AP|sinα
=cosα·cosβ+sinα·sinβ
適用範圍
和角公式是三角函式的一個基本公式，其實際套用有以下幾個方面：
1、其它三角公式的推導依據。
2、三角函式值的計算。
連同勾股定理，可以計算出各角度對應的函式值，是編制三角函式表的基本工具。
