解的存在唯一性定理

解的存在唯一性定理是指方程的解在一定條件下的存在性和唯一性，是常微分方程理論中最基本的定理。

基本介紹

• 中文名：解的存在唯一性定理
• 實質：常微分方程理論中最基本的定理
• 意義：有其重大的理論意義
• 領域：數學

解的存在唯一性

解的存在唯一性定理是指方程的解在一定條件下的存在性和唯一性，它是常微分方程理論中最基本的定理，有其重大的理論意義，另一方面由於能求得精確解的微分方程並不多，常微分方程的近似解法具有十分重要的意義，而解的存在唯一性又是近似解的前提，試想，如果解都不存在，花費精力去求其近似解有什麼意義呢？如果解存在但不唯一，但不知道要確定的是哪一個解，又要去近似的求其解，又是沒有意義的。

解的存在唯一性定理一

定理1

如果函式f(x,y)在矩形域R上連續且關於y滿足利普希茨條件，則方程dy/dx=f(x,y);存在唯一的解y=φ(x)，定義於區間|x-x0|<=h上，連續且滿足初值條件φ(x0)=y0,這裡h=min(a,b/M) , M=max|f(x,y)|。

命題1

設y=φ(x)是方程的定義於區間x0<=x<=x0+h上，滿足初值條件φ(x0)=y0的解，則y=φ(x)是積分方程y=y0+∫f(x,y)dx,x0<=x<=x0+h的定義於x0<=x<=x0+h上的連續解，反之亦然。

命題2

對於所有的n，皮卡逐步逼近函式φn(x)在 x0<=x<=x0+h上有定義，連續且滿足不等式|φn(x)-y0|<=b。

命題3

函式序列{φn(x)} 在x0<=x<=x0+h上已收斂的。

命題4

φn(x)是積分方程的定義於x0<=x<=x0+h上的連續解

命題5

設ψ(x)是積分方程的定義於 x0<=x<=x0+h的另一個解，則ψ(x)=φ(x)(x0<=x<=x0+h)