解析最最佳化方法

解析最最佳化方法，也稱間接最最佳化方法，是求解最最佳化問題的一類方法。它要求把所研究的對象用數學表達式描述出來，然後用數學解析方法求出最優解。

基本介紹

• 中文名：解析最最佳化方法
• 外文名：Analytic optimization method
• 拼音：Jiěxī zuìyōuhuà fāngfǎ
• 隸屬：數理科學
• 學科：數學
• 解法：直接法、間接法等

基本內容

人們在做任何一件事情（工作）時，總是希望在可能（現有）的條件下，從眾多可能方案中選擇一個方案，使事情（工作）的結果最能滿足自己的心愿，或者說使結果的目標值與自己的期望值最為符合。這個方案就可以稱為最優方案，而這個選擇最優方案的行為或過程就是一個最最佳化的過程。正是人類活動中無數這種尋找最優方案的過程，形成了最最佳化與最優控制理論與方法產生的基礎。

隨著人類對自然界認識的不斷深入，尋找最優逐漸從下意識的、缺乏系統性的行為發展到目的明確的有意識活動，並在數學工具日漸完善的基礎上，對各種尋找最優的活動進行數學描述和分析，指導尋優活動更有效地進行，從而形成了最最佳化理論與方法這一套用數學理論分支。

分類

1. 最最佳化問題按其描述模型和變數取值要求的不同，可以分為動態最最佳化（最優控制）與靜態最最佳化。最最佳化問題的數學描述和解有的與時間有關，有的與時間無關。前者稱為動態最最佳化問題，或更一般稱為最優控制問題，後者稱為靜態最最佳化問題，或更一般稱為最最佳化問題。兩類最最佳化問題的解法不同，但相互之間有聯繫，在一定條件下可以轉換。
2. 無約束最最佳化與有約束最最佳化：如果除目標函式以外，對參與最佳化的各變數沒有其他函式或變數約束，則稱為無約束最最佳化問題。反之，稱為有約束最最佳化問題。實際的最最佳化問題一般除了目標函式外都有其他約束條件，因此多為有約束最最佳化問題。有約束最最佳化問題的約束條件又可以分為等式約束和不等式約束。
3. 線性最最佳化與非線性最最佳化：如果最最佳化問題的目標函式和所有約束條件均為線性的，則為線性最最佳化問題。而只要最最佳化問題目標函式和約束條件中有一個是非線性的，就是非線性最最佳化問題。線性最最佳化問題是非線性最最佳化問題的特例。但由於非線性系統問題的求解難度遠遠大於線性系統問題，目前線性最最佳化問題的研究較為成熟，而非線性最最佳化問題仍然是當前的研究熱點之一。
4. 確定性最最佳化與隨機性最最佳化：如果在最最佳化問題中，每個變數的取值都是確定可知的，則該問題為確定性最最佳化問題。如果某個或某些變數的取值是不確定的，但服從一定的統計規律，則屬於隨機性最最佳化問題。

舉例

例如，古代人類在生產和生活活動中經過無數次摸索認識到，在使用同樣數量和質量材料的條件下，圓截面的容器比其他任何截面的容器能夠盛放的穀物都要多，而且容器的強度也最大。也就是說，人們認識到了圓截面容器是各種截面容器中的最優容器。古代人類這種尋找最優方案的例子比比皆是，如北半球朝南的房屋冬暖夏涼可以獲得最舒適的居住條件、農作物生長過程中在某些最佳時機灌溉可以顯著增產，等等。

人類進入現代社會以後，生產和社會活動的規模不斷擴大，複雜性日益增加，這就意味著完成一項工作或進行一項活動可以選擇的方案數量也急劇增加，從中尋找最優方案幾乎已經是進行任何一件工作所必須面對的問題。例如，工廠在安排生產計畫時，首先要考慮在現有原材料、設備、人力等資源條件下，如何安排生產，使產品的產值最高，或產生的利潤最大；又如，在多級火箭發射過程中，如何控制燃料的燃燒速率，從而用火箭所載的有限燃料使火箭達到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引導車輛的流向，儘量減少各個交叉路口的阻塞和等待時間、提高各條道路的車輛通行速度，在現有道路條件下取得最大的道路通行能力。

解法

1. 間接法（解析法）：對於系統模型具有簡單明確的數學解析表達式的最最佳化問題，採用數學分析的方法，根據函式（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優解析解的求解方法。
2. 直接法（數值解法）：對於無法用簡單明確的數學解析表達式表達其系統模型的最最佳化問題，通過數值計算，在經過一系列疊代過程產生的點列中直接搜尋，使其逐步逼近最優點的。
3. 以解析法為基礎的數值解法：以梯度法為基礎，將解析法與數值計算相結合的最最佳化求解方法。
4. 網路最最佳化方法：以網路圖作為數學模型，用圖論方法進行搜尋的最最佳化求解方法。
5. 現代最佳化算法：運用現代智慧型計算方法，如遺傳算法、模擬退火算法、蟻群算法等，進行直接搜尋的最最佳化求解方法，主要解決大規模複雜最佳化問題中的NP-hard問題。