格拉姆-施密特正交化過程

簡介

正交化是指將線性無關向量系轉化為正交系的過程。

設{x_n}是內積空間H中有限個或可列個線性無關的向量，則必定有H中的規範正交系{e_n}使得對每個正整數n（當{x_n}只含有m個向量，要求n≤m），x_n是e₁,e₂,…,e_n的線性組合。

這種把線性無關向量系進行正交化的過程，稱為格拉姆-施密特正交化過程。

設

是內積空間H的一些非零元素構成的子集，若M中任何兩個不同元素都正交，則稱M為H中的一個正交系，進一步，若在正交系M中每個元素的範數均為1，則稱M為H的一個標準正交系。

設M是內積空間X的一個不含零子集，若M中向量兩兩正交，則稱M為X中的正交系，又若M中向量的範數都為1，則稱M為X中的規範正交系。

元素的正交性在內積空間和Hilbert空間中扮演著十分重要的角色。在n維歐氏空間，選定n個相互正交的向量

，則形成n維空間中的一組正交基，也就是說在空間中建立了一組坐標系，空間中的任何一個元素都可以由這組坐標的線性組合表示出來。