薩蒙定理

薩蒙定理(Salmon theorem)又稱沙爾蒙定理，是關於點共線和距離成比例的兩個定理：1.自圓上一點引三弦．則以此三弦為直徑的圓的其它三個交點共線；2.圓心O至A、B兩點的距離，與A至B的極線及B至A的極線的距離成比例。該定理為英國數學家G.Salmon所發現，薩蒙(George Salmon，1819-1904)是英國數學家。

基本介紹

• 中文名：薩蒙定理
• 外文名：Salmon theorem
• 別名：沙爾蒙定理
• 所屬學科：數學（平面幾何）
• 發現者：G.Salmon

基本介紹

薩蒙(Salmon, 1819-1904年)是英國數學家。初期從事綜合幾何研究，後研究代數形式的不變數與共變數理論在曲線、曲面幾何中的套用。先後寫出幾十篇論文和四本重要的教科書《圓錐曲線》、《高階平面曲線》、《三維解析幾何》等，在西歐各國出版，廣泛流傳，影響較大。薩蒙在數學上的其它貢獻還有：三次曲面上的27條直線的發現；限定條件下的曲面性質；代數方程重根的條件等。

薩蒙定理是關於點共線和距離成比例的兩個定理：

1.自圓上一點引三弦，並以它們各為直徑畫圓，則所畫三圓的兩兩相交的三個與A不同的交點共線(如圖)。

2.圓心O至A，B兩點的距離與A至B的極線b的距離及B至A的極線a的距離成比例。

圖1

點共線及其證明

從圓上任意一點引三條弦，並分別以這三條弦為直徑作圓，則所作三圓的其它三個交點共線。

證明 設P為圓O上任一點，PA、PB、PC是任意作的弦，分別以PA、PB、PC為直徑作圓O_A、O_B、O_C，其中⊙O_B與⊙O_C、⊙O_C與⊙O_A、⊙O_A與⊙O_B的另一交點分別為D、E、F。

圖2

首先連線DB、DC，在⊙O_B與⊙O_C中，

∵ PB、 PC為直徑，

∴∠PDB=∠PDC= 90°，

證得B、D、C三點共線，也即PD⊥BC於D。

同法可證PE⊥CA於E，PF⊥AB於F。

又P、A、B、C四點本來共圓，因此問題成為自△ABC外接圓上任-一點P作PD⊥BC、PE⊥CA、PF⊥AB垂足分別為D、E、F，要證D、B、F三點共線。而這就是西摩松線，所以本命題成立。

距離成比例及其證明

圓心O到A、B兩點的距離與A到B的極線b及B到A的極線a的距離成比例。

該定理為英國數學家G.Salmon所發現，它是極和極線理論中的一個基本定理。

圖3

如圖3，直線a、b分別是點A、B的極線，OA⊥a於H，OB⊥b於K，AP是A到極線b的距離，BQ是B到極線a的距離。作AD⊥OB於D，BE⊥OA於E，則A、E、D、B四點共圓，於是有

OD·OB=OE·OA， ①

又 OB·OK=R²=OA·OH，②

②一①得 OB(OK－OD)=OA(OH－OE)，

即 OB·AP=OA·BQ，

OA∶OB=AP∶BQ。