耿貝爾分布

耿貝爾 (Gumbel) 分布是指有一種用理論根據的頻率曲線來計算 “多年一遇” 海洋水文氣象要素的常用方法。這種算法在西方有些國家得到較為廣泛的套用。耿貝爾分布被廣泛運用於最大風速的計算當中。

基本介紹

• 中文名：耿貝爾分布
• 外文名：Gumbel distribution
• 適用對象：海洋、水文、氣象
• 提出者：耿貝爾

定律定義

耿貝爾分布是根據極值定理導出。由費雪 (R. A. Fisher) 和蒂培特 (L. H. C. Tippett) 於 1928 年發現，各個樣本的最大值 X 的機率分布函式趨於廣義極值分布

其中 k 為形狀參數，μ 為中心參數，σ 為展寬參數。稱 k → 0 的分布為耿貝爾分布，也叫做第 I 類極值分布。此時分布函式趨於雙指數形式 P(X < x) = exp (-exp [-(x – μ) / σ])，x 的定義域是 (-∞,+∞)。一般地，x 的定義域為 1 + k (x – μ) / σ > 0.

第 I 類極值分布 (k = 0) 下，最大值分布的尾巴是指數分布，即 P(X < x) ≈ 1 – exp [-(x – μ) / σ], x – μ >> σ.

第 II 類極值分布 (k > 0) 下，最大值分布的尾巴是冪律分布，即 P(X < x) ≈ 1 – [1 + k (x – μ) / σ]^-1/k, x – μ >> σ.

第 III 類極值分布 (k < 0) 下，最大值分布有上確界 x_m = μ + σ / |k|，滿足 P(X < x) ≈ 1 – [|k| (x_m – x) / σ]^1/|k|, x → x_m.

水文方面主要用第 I 類漸近極值分布，是耿貝爾在 1941 年將此分布套用於洪水頻率分析工作，所以也稱 Fisher-Tippett 型分布。廣義極值分布的形狀參數 k 則考慮了最大值分布為指數尾巴、冪律尾巴、有上界的各種情況，可作為一個更通用的模型來擬合數據。例如地震的能量和發生機率之間就是一個冪律分布關係，屬於第 II 類漸近極值分布。

適用範圍

耿貝爾分布主要是適用於對海洋、水文、氣象，來計算不同重現期的極端高（低）潮位。海洋的年最高水位可以認為是由天文潮和許多隨機因子的影響形成的。因此，它可以用耿貝爾極值 I 型分布函式進行擬合。