機率分布函式

機率分布函式是機率論的基本概念之一。在實際問題中，常常要研究一個隨機變數ξ取值小於某一數值x的機率，這機率是x的函式，稱這種函式為隨機變數ξ的分布函式，簡稱分布函式，記作F(x)，即F(x)=P(ξ<x) (-∞<x<+∞)，由它並可以決定隨機變數落入任何範圍內的機率。 例如在橋樑和水壩的設計中，每年河流的最高水位ξ小於x米的機率是x的函式，這個函式就是最高水位ξ的分布函式。實際套用中常用的分布函式有常態分配函式、普阿松分布函式、二項分布函式等等。

基本介紹

• 中文名：機率分布函式
• 外文名：probability distribution function
• 所屬領域：機率論
• 分類：離散型、連續性
• 常見類型：二項分布、常態分配、瑞利分布等
• 公式：F(x)=P{X≤x} (-∞<x<+∞)

基本介紹

機率分布函式是描述隨機變數取值分布規律的數學表示。對於任何實數x，事件[X<x]的機率當然是一個x的函式。令 ，顯然有 ，稱F(x)為隨機變數X的分布函式。所以，分布函式F(x)完全決定了事件[a≤X≤b]的機率，或者說分布函式F(x)完整地描述了隨機變數X的統計特性。

常見的離散型隨機變數分布模型有“0-1分布”、二項式分布、泊松分布等；連續型隨機變數分布模型有均勻分布、常態分配、瑞利分布等。

分類

離散型隨機變數的機率分布

對於離散型隨機變數，設 為變數X的取值，而 為對應上述取值的機率，則離散型隨機變數X的機率分布為

且機率 應滿足條 。因此，離散型隨機變數X的機率分布函式為

連續型隨機變數的機率分布

對於連續型隨機變數，設變數X取值於區間(a，b)，並假設其分布函式F(x)為單調增函式，且在 間可微分及其導數F’(x)在此區間連續，則變數X落在x至 區間內的機率為

為描述其機率分布規律，這時不可能用分布列表示，而是引入“機率分布密度函式”的新概念。定義機率分布函式F(x)的導數F’(x)為機率分布密度函式f(x)，即

於是連續型隨機變數X的機率分布函式可寫為常用的機率積分公式的形式：

這樣，只要已知某一連續型隨機變數X的機率分布密度函式f(x)，即可求得X落在某一區間 內的機率：

與離散型隨機變數的機率函式一樣．對於分布密度函式，有

連續型隨機變數的分布密度函式 ．以及與它對應的分布函式F(x)的圖形分別如圖1和圖2所示。有時稱f(x)的圖形為分布曲線，而稱F(x)的圖形為累積分布曲線。

圖1

圖2

分布函式F(x)是一個普通函式。正是通過它才能用數學分析的方法來研究隨機變數。如果將X看成是數軸上隨機點的坐標，那么分布函式F(x)在x處的函式值就表示X落在區間 的機率。

分布函式F(x)具有下述基本性質：

①F(x)為單凋非降函式：

② 左連續；

③ 。

綜上所述，機率分布函式是隨機變數特性的表征，它決定了隨機變數取值的分布規律，只要已知了機率分布函式，就可以算出隨機變數落於某處的機率。