總曲率

總曲率是數學和物理學中一個比較重要的概念。

基本介紹

• 中文名：總曲率
• 分類：數理科學

簡介

在數學中的曲線微分幾何的研究中, 一個浸入在平面上的曲線的總曲率是曲率的曲線積分:

閉曲線的總曲率是 2π 的整數倍, 該整數稱為曲線的指數或轉數. 其中轉數是單位切向量關於起點的繞數, 或者等價的高斯映射的次數. 局部不變數曲率和整體拓撲不變數指數的關係是高維黎曼幾何的代表性結果，如高斯-博內定理。

不變數

根據惠特尼-格勞斯坦定理, 總曲率在曲線的正則同倫下不變: 總曲率是高斯映射的次數. 然而, 它不是同倫下的不變數：經歷一個扭結將會更改轉折點的數目.

相反, 關於曲線外一點的繞數在同倫下不變. 對於曲線上的點繞數將改變1.

平面曲線的曲率

對於平面曲線C，在一點P的曲率大小等於密切圓半徑的倒數，它是一個指向該圓圓心的向量。其大小可用屈光度（dioptre）衡量，1屈光度等於1（弧度）每米。此密切圓的半徑即為曲率半徑。

密切圓的半徑越小，曲率越大；所以曲線接近平直的時候，曲率接近0，而當曲線急速轉彎時，曲率很大。

直線曲率處處為0；半徑為r的圓曲率處處為1/r。