臍點

若曲面上的一點P，其第一、二基本形式成比例，則稱P點為曲面的臍點(umbilical point)。若第二基本形式為零，則稱為平點，否則稱為圓點。在臍點處總曲率K=H²(H為平均曲率)，兩個主曲率相等，任何方向均為主方向。每點均為臍點的曲面(稱為全臍點曲面)必為平面或球面。

基本介紹

• 中文名：臍點
• 外文名：umbilical point
• 所屬學科：數學（微分幾何學）
• 分類：圓點，平點
• 相關概念：法曲率，第一、二基本量/形式等

基本介紹

臍點(umbilical point)是曲面上的一類特殊點，它是第一基本形式與第二基本形式成比例的點，若曲面在某一點處的第一、二類基本量適合

則稱該點為曲面的臍點。曲面在臍點處的每一個切方向都是主方向，沿各方向的法曲率都相等， 的臍點稱為平點， 不全為零的臍點稱為圓點，平面上的點都是平點，球面上的點都是圓點。

法曲率與臍點

法曲率是曲面理論的一個核心概念。

設

為曲面上任意曲線，s為弧長。法曲率為

由於對任何方向， 不能同時為零，故不妨在(1)中設 ，這表明法曲率是方向 的函式，一般的說不同方向上 的值也不相同。所謂臍點，就是指曲面上這樣一種特殊的點，它的任何方向的 恆為常數。

於是對於臍點，(1)式中為常數，且對任何方向都成立，自然對於參數曲線方向亦成立，對線顯然有

同樣對v線有

當時，由上述兩式可直接得到，再代入(1)式便知。至於時，則將兩式代入(1)式有

總之有

反之，若(2)式成立，則當時，顯然對任何方向均有。若不全為零，不妨設，於是令，則有

從而

因對曲面上一定點，為定值，故為常數。於是有：

定理 曲面上一點為臍點的充要條件是

由上述定理的證明過程可以看到，平點是臍點中的一種。

我們又稱L、M、N不全為零的臍點為圓點。球面上的點皆為圓點，而且可以證明其逆也成立，從而有：一個曲面為球面或球面一部分的充要條件是其上的每一點都是圓點。對於圓點，如上不妨令

再根據(3)式以及為恆正齊式，即得

從而可知圓點是橢圓點的特殊情形。