線性獨立

線性獨立

線性獨立一般是指向量的線性獨立,指一組向量中任意一個向量都不能由其它幾個向量線性表示。

基本介紹

  • 中文名:線性無關
  • 外文名:linearly independent
  • 所屬學科:數理科學
  • 相關概念:線性表示、線性相關、線性相依等
概念引入,定義,舉例說明,關係,定理1,定理2,定理3,

概念引入

例如,一個運輸企業Y有n輛汽車
,那么Y(在單位時間)的收入(記為
)可表為
這是個線性函式,其係數表示各自的貢獻率,
可以為0或負數,比如可表企業的定常支出等。這時則說(企業內)各車之間的關係是線性的。
特別地,所謂“線性關係”的本質就是“獨立關係”(又叫線性獨立),因為這時任何一輛車的“貢獻”大小和有無(即其係數取正負、大小及是否取0等)皆與別的車無關。

定義

若有m+1個n維不全為零的向量
如果其中第
個向量可以寫成
這裡
常數,則稱這m+1個向量之間存在著線性關係;又稱這m+1個向量線性相關;或稱
線性表出。當然,由上式可知若這m+1個向量是線性相關的,必可寫成
這裡
必不全為零。
顯然,若這m+1個向量不能夠寫成上面兩個式子的形式,或者換個說法只有當
的情況下以上兩式才成立,則稱這m+1個向量是線性獨立的。

舉例說明

例如有以下三個向量
它們是線性相關的,因為A可以由BC線性表出,即 A=2B+C
若將A向量除去,向量B與向量C則是線性獨立的,這是因為B≠kC,k為任意常數.或者說只有
才能使得
成立,所以BC是線性獨立的。

關係

線性獨立與矩陣秩的關係
不難證明若有
階矩陣
如果它的n個行(列)向量是線性獨立的,則該方陣的秩為n,反之如果其n個行向量或n個列向量是線性相關的,則其秩一定小於n,綜上所述,可得定理如下:

定理1

n×n階矩陣為n的充分必要條件是n個行向量或n個列向量是線性獨立的。
讓我們以矩陣
為例,對以上定理加以驗證.由於該矩陣的三個行向量是線性相關的,故以-2乘第二行向量,以-1乘第三行向量,然後都加到第一行上去,則得到第一行全為零的矩陣
故該矩陣的秩小於n,反之,若矩陣的n個行向量或列向量是線性獨立的,則無論怎樣進行初等變換,也不可能將它變成某一行或某一列為零向量的形式,例如矩陣
就是這樣的,該矩陣滿秩,秩等於3。

定理2

A為m×n階矩陣,如果rankA=r,則其m個行向量中有r個是線性獨立的,其他(m—r)個行向量可用其線性組合表出。此外n個列向量中也有r個是線性獨立的,其它(n-r)個列向量亦可用其線性組合表出。
由此可知,A矩陣的秩的數目就是A矩陣的最大的線性獨立的行(列)向量的數目。例如
因為該矩陣的位於左上角的二階子行列式
而所有3階子行列式皆等於零,故
則其第一列和第二列是線性獨立的,第三列,第四列可以用第一列與第二列線性組合來表示,即
由定理2直接可推斷出以下定理。

定理3

A為m×n階矩陣,又已知m≤n,如果其中m個行向量是線性獨立的,則A矩陣有最大可能的秩,其秩為m。如果n≤m,若其中n個列向量是線性獨立的,則A矩陣有最大可能的秩,其秩為n。
如果A矩陣具有最大可能的秩,即rankA=min(m,n),則稱A矩陣為最大秩矩。

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