累積比數模型

累積比數模型（cumulative odds logit models）又稱比例優勢模型（proportional odds model）或有序logit模型（ordinal logit model，Scott et al，1997），它是二分類logit模型的擴展，主要用於處理反應變數為有序分類結果（ordinal categorical response）的資料。

基本介紹

• 中文名：累積比數模型
• 外文名：cumulative odds logit models
• 又稱：比例優勢模型
• 用於：處理反應變數為有序分類結果
• 套用：生物醫學、計量經濟學

簡介

設反應變數 為 個等級的有序變數， 個分類分別用 表示，與之有關的因素為 ，並且稱之為解釋變數， 可以是定性的，也可以是定量或半定量的，這時累積比數模型可以表示為：

對累積機率 做logit變換，（1）式可以寫作：

式中 和 為待估計的參數，對任一 ， 是 的線性函式。

由模型可以看出， 是在解釋向量 或 與 完全獨立時，在某一固定的 下的兩類不同機率之比的對數值，由於回歸係數 與 無關，必有

一般我們對 不感興趣，而只關心效應參數 。對於具有兩組不同水平的變數 和 ，其比數比或優勢比（odds ratio）為：

這裡OR值與 無關，若 是0-1變數，則 恰為該變數的OR值。

當 時，累積比模型就退化為普通的二反應logistic模型，所以可以將後者看做前者的一個特例。

模型的參數估計可用極大似然法求出。假定 是在條件 下第 類樣品觀察個數，G為X各水平的組合數，則對數似然函式為：

式中，

極大似然函式的求解計算，需要計算機疊代完成。這裡需要注意，Newton-Raphson疊代法常常不能收斂，對此可以使用Marqurdt疊代算法。

套用

累積比模型因其模型結構簡單、易於操作、且套用效果好，使其在計量經濟學以及生物醫學等領域得到了廣泛套用。但大多數的套用是基於二分類變數的Logistic回歸模型，基於有序多分類變數的Logistic回歸模型還比較少。在生物醫學領域中，很多現象不僅僅局限於兩分類變數而是屬於多分類有序變數，因此基於有序多分類變數的累積比模型在生物醫學領域有著廣泛的套用。