等比中項

數列問題中的特殊性質，如果在等比數列a項和b項中，插入一個數G使a、G、b成等比數列，那么G叫做a、b的等比中項。如果G是a與b的等比中項，則有G/a=b/G。

在解決一些數學問題時，如果發現其中存在類似等比中項的特徵，不妨巧設公比，利用q的橋樑作用解題，不僅思路新穎而且過程簡捷，從而為問題的解決提供了一種新的方法。

基本介紹

• 中文名：等比中項
• 外文名：geometric mean
• 一級學科：數理科學
• 二級學科：數學
• 類型：數學術語
• 特點：同號的兩個數才有等比中項

等比數列

一般地，如果一個數列的首項不為0，且從第二項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q不等於0）。如數列2，4，8，16就為等比數列，公比為2。

等比數列在生活中也是常常運用的。如：銀行有一種支付利息的方式——複利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在計算下一期的利息，也就是人們通常說的“利滾利”。

等比中項簡介

在等比數列a項和b項中，插入一個數G使a、G、b成等比數列，那么G叫做a、b的等比中項。

若a和b的等比中項為c，則c的平方等於a和b的乘積。

若a，b，c成等比數列，則有

相關結論

由，可知成立。

還可由，得。

此結論說明，在等比數列中，從第二項起，每一項（有限數列末項除外）都是它前後兩項的等比中項。

同樣可證得成立。

此結論說明，在等比數列中，任取數列中的某項都是與它前後等距離的兩項的等比中項（保證前後兩項都存在）。

性質

同號的兩個數才有等比中項；等比中項有兩個，且互為相反數。
在等比數列中，若2m=p+k,m與p,k∈N*，則，.可以理解為，a_m是a_p與a_k的等比中項。

舉例

在解決一些數學問題時，如果發現其中存在特徵，我們不妨聯想到等比中項的知識，巧設公比，利用q的橋樑作用解題，不僅思路新穎而且過程簡捷，從而為問題的解決提供了一種新的方法。

（1）等比數列4，9求該數列等比中項
解：設給數列等比數列為C 則
C/4=9/C
C²=36
C=±6

（2）在三角函式的套用：

已知，且a為第三象限角，求。

因為，所以。

設，。

所以，

又位於第三象限，所以，。

（3）在解方程的套用

已知x，y，z屬於正實數集，且，

求證：

由知，，所以等比數列。

設，

得

所以。