第二類橢圓函式

概念基礎——橢圓函式

橢圓函式也叫第一類橢圓函式，是第二、第三類橢圓函式的基本，雙周期亞純函式的統稱。在歷史上，橢圓函式是作為橢圓積分的反函式而引入的，故名。

設2ω，2ω'為橢圓函式 f(z) 的兩個基本周期，且

f(z) 在以任意一點 z 及 z+2ω，z+2ω+2ω'，z+2ω' 為頂點的平行四邊形（稱為周期平行四邊形）內極點的個數（n階極點算作n個極點）稱為橢圓函式 f(z) 的階。

橢圓函式具有下列性質：

1、若 f(z) 為橢圓函式，則其任意階導數 f⁽ⁿ⁾(z) 也是橢圓函式，基本周期不變；

2、橢圓函式的階有限；

3、劉維爾第一定理：零階橢圓函式必為常數；

4、劉維爾第二定理：橢圓函式在任一周期平行四邊形內各極點處留數之和必為0；

因此，橢圓函式在任一周期平行四邊形內不可能只有一個（一階）極點。換言之，不存在一階橢圓函式。

5、橢圓函式在任一周期平行四邊形內零點的個數（n階零點算作n個零點）等於它的階；

6、劉維爾第三定理：對於任一常數C，方程 f(z)=C 在周期平行四邊形內根的個數（n重根算作n個根）等於 f(z) 的階；

7、劉維爾第四定理：在一個周期平行四邊形內，橢圓函式零點a_k(k=1,2,…)之和與極點b_k(k=1,2,…)之和相差某一周期，即

m，m'為整數。

最簡單的橢圓函式是二階橢圓函式。在這些函式中，或者把（在任一周期平行四邊形中）具有一個二階極點（留數為0）的函式選作標準函式（外爾斯特拉斯橢圓函式），或者把具有兩個一階極點（留數互相抵消）的函式選作標準函式（雅克比橢圓函式）。

第二類橢圓函式是橢圓函式的推廣之一。如果亞純函式 f(u) 滿足

（ω₁，ω₃及μ₁，μ_{3均為常數}），則稱 f(u) 為第二類橢圓函式。

例如，

其中 σ(u) 為外爾斯特拉斯 σ 函式，ρ 及 v 為常數。此時

。

2ω_1及2ω₃仍稱為第二類橢圓函式的基本周期。