窮舉歸謬法(exhaustive reduction to absurdity)是反證法之一，指原論題的結論B的否定B'不止一種情況，須把B'的各種可能情況逐一否定的證法。例如，用反證法證“在△ABC中，∠A=∠B，則BC=AC”時，原論題結論是BC=AC，歸謬假設BC≠AC，要分成兩種情況：BC>AC與BC<AC，窮舉歸謬法就是要對這兩種情況逐一加以否定。
基本介紹
- 中文名：窮舉歸謬法
- 外文名：exhaustive reduction to absurdity
- 所屬學科：邏輯學
- 簡介：是反證法之一
定義介紹,舉例分析,
定義介紹
如果結論的反面不止一種情況，則需分別在各種情況下一一推出矛盾，從而證明原結論成立，此時稱為窮舉歸謬法。
窮舉歸謬法是反證法之一，所謂反證法，就是首先假定所要證明的結論不成立，然後再在這個假定下進行一系列合乎邏輯的推理，直到得出一個矛盾的結論來，並據此推翻原先的假定，從而確認所要證明的結論成立，這裡所說的矛盾，具有多重的含義，可以是與題目中所給的已知條件相矛盾；也可以是與數學中已知的公理、定理或定義等相矛盾；還可以是與日常生活中公認事實相矛盾；甚至可以是從兩個不同的角度進行推理所得出的結論之間相互矛盾。總之，尋找矛盾是運用反證法證題時的核心目標之所在，而在尋找矛盾的過程中所作的各種推理，則除了出發的大前提可能不真之外，推理的本身則無論是在邏輯上還是在所依據的原理上都必須是正確的和無懈可擊的，因為只有這樣，我們才有理由將矛盾的產生歸咎於假設的錯誤，因而也才有理由推翻這個假設，從而確認所要證明的結論。
套用反證法證明命題的一般步驟：
(1)反設：假設要證的結論不成立，也就是假設在已知條件下，存在與要證的結論相反的情形。
(2)歸謬：由反設出發，結合已知條件，通過正確的邏輯推理，推得矛盾。
(3)斷言：由所得矛盾斷定反設不真，從而確定原命題成立。
如果命題結論的反面只有一個，只須駁斥這個反面不正確，以獲原結論的正確性，這種反證法叫做(簡單)歸謬法；有些命題的結論的反面又分成幾種情形，各種情形下“歸謬”的具體過程不盡相同，這時則應將各種情形分別舉出，逐一歸謬，通常稱這樣的反證法為窮舉歸謬法。
舉例分析
【例1】一次宴會上，A、B、C三人中有兩種人， 一種人只說真話，一種人句句撒謊，A說B、C都是撒謊的；B堅決否認，但C說B確實撒謊。試證。A、B、C中恰有一人說真話，兩人撒謊。
若結論不真，則可能有以下五種情況。
①A，B、C都說真話，
②A、B都說真話，C撒謊；
③A、C都說真話，B撒謊；
④B、C都說真話，A撒謊，
⑤A、B、C都撒謊。
若是①，則A說真話，從而B、C撒謊，這與①自相矛盾，若是②，則A說真話，從而B撒謊，這與②自相矛盾；若是③，則A說真話，從而C撒謊，這與③自相矛盾；若是④，則C說真話，從而B撒謊，這與④自相矛盾，若是⑤，則C撒謊，從而B說真話，這與⑤自相矛盾。
故A、B、C中恰有一人說真話，兩人撒謊。
【例2】一位婦女以及她的弟弟，兒子和女兒都是棋手，其中有一個最差的棋手和一個最好的棋手，已知：
(1)最差的棋手的孿生者和最好的棋手是異性。
(2)最差的棋手與最好的棋手同齡。
問哪兩位棋手同齡？
解 從推斷最差棋手入手，用窮舉歸謬法。
如果婦女最差，則其弟為孿生者，從而女兒最好，所以婦女與女兒同齡。矛盾。
如果弟最差，則婦女為孿生者，從而子是最好的棋手，所以弟、子同齡，因而婦女同子同齡，矛盾。
若女最差，則子是孿生者，所以婦女為最好的棋手，推出婦女與女兒同齡。矛盾。
因此只有子最差，女為孿生者，弟為最好棋手，可知弟與子同齡。
